a)

Wielomian jest podzielny przez dwumian x²-1 więc jest podzielny przez wielomian (x-1)(x+1), ponieważ:

$x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$  

Liczby 1 oraz -1 są pierwiastkami tego wielomianu, zatem:

$\{\begin{array}{l}W\left(1\right)=0\\ W\left(-1\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5\cdot 1^4+4\cdot 1^3+m\cdot 1^2+n\cdot 1+1=0\\ 5\cdot {\left(-1\right)}^4+4\cdot {\left(-1\right)}^3+m\cdot {\left(-1\right)}^2+n\cdot \left(-1\right)+1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}5+4+m+n+1=0\\ 5-4+m-n+1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}10+m+n=0\\ 2+m-n=0\end{array}$  

Mamy więc:

$10+m+n=2+m-n$  

$10+n=2-n$  

$n=-8-n$  

$2n=-8$  

$n=-4$  

Wyznaczamy m:

$10+m+n=0$  

$m=-10-n$  

$m=-10-\left(-4\right)$  

$m=-10+4$  

$m=-6$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}m=-6\\ n=-4\end{array}$  

---

b)

Wielomian jest podzielny przez dwumian x²-x-2 więc jest podzielny przez wielomian (x-2)(x+1), ponieważ:

$x^2-x-2=\left(x-2\right)\left(x+1\right)$  

Liczby 2 oraz -1 są pierwiastkami tego wielomianu, zatem:

$\{\begin{array}{l}W\left(2\right)=0\\ W\left(-1\right)=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{2}^4-2t\cdot 2^3+3t\cdot 2^2+2+s=0\\ {\left(-1\right)}^4-2t\cdot {\left(-1\right)}^3+3t\cdot {\left(-1\right)}^2+\left(-1\right)+s=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}16-16t+12t+2+s=0\\ 1+2t+3t-1+s=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}18-4t+s=0\\ 5t+s=0\end{array}$  

Mamy więc:

$18-4t+s=5t+s$  

$18-4t=5t$  

$18=9t$  

$2=t$  

Wyznaczamy s:

$5t+s=0$  

$5\cdot 2+s=0$  

$10+s=0$  

$s=-10$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}s=-10\\ t=2\end{array}$  

---

c)

Jeżeli liczby a i b (a≠b) są pierwiastkami wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian (x-a)(x-b).

Załóżmy, że liczby $a$  i $b$  są pierwiastkami wielomianu  $W\left(x\right)$ , czyli:

$W\left(a\right)=0\Rightarrow W\left(x\right):\left(x-a\right)=P\left(x\right)\Rightarrow W\left(x\right)=\left(x-a\right)\cdot P\left(x\right)$  

$W\left(b\right)=0\Rightarrow W\left(x\right):\left(x-b\right)=Q\left(x\right)\Rightarrow W\left(x\right)=\left(x-b\right)\cdot Q\left(x\right)$  

Liczby  $a$  i  $b$  są różne, więc:

$W\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\cdot S\left(x\right)$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  jest więc podzielny przez wielomian  $\left(x-a\right)\left(x-b\right)$ .

 

Jeżeli wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian (x-a)(x-b), to liczby a i b (a≠b) są pierwiastkami wielomianu W(x).

Wielomian  $W\left(x\right)$  jest podzielny przez wielomian  $\left(x-a\right)\left(x-b\right)$ , więc:

$W\left(x\right):\left(x-a\right)\left(x-b\right)=S\left(x\right)$  

Wielomian  $W\left(x\right)$  jest zatem podzielny przez $\left(x-a\right)$  oraz przez  $\left(x-b\right)$ .

$W\left(x\right):\left(x-a\right)=\left(x-b\right)\cdot S\left(x\right)\Rightarrow W\left(x\right):\left(x-a\right)=P\left(x\right)\Rightarrow W\left(a\right)=0$  

$W\left(x\right):\left(x-b\right)=\left(x-a\right)\cdot S\left(x\right)\Rightarrow W\left(x\right):\left(x-b\right)=Q\left(x\right)\Rightarrow W\left(b\right)=0$  

Liczby  $a$  i  $b$  są więc pierwiastkami wielomianu  $W\left(x\right)$ .