a)
Punkty A, B i C leżą na prostej o równaniu y=kx, więc:
a2​=ka1​
b2​=kb1​
c2​=kc1​
Wyznaczamy długości odcinków AB, BC oraz AC.
∣AB∣=(b1​−a1​)2+(b2​−a2​)2​=(b1​−a1​)2+(kb1​−ka1​)2​=(b1​−a1​)2+(k(b1​−a1​))2​
∣BC∣=(c1​−b1​)2+(c2​−b2​)2​=(c1​−b1​)2+(kc1​−kb1​)2​=(c1​−b1​)2+(k(c1​−b1​))2​
∣AC∣=(c1​−a1​)2+(c2​−a2​)2​=(c1​−a1​)2+(kc1​−ka1​)2​=(c1​−a1​)2+(k(c1​−a1​))2​
Dla uproszczenia, pominiemy dolne indeksy. Sprawdzamy, czy zachodzi równość.
∣AB∣+∣BC∣=?∣AC∣
(b−a)2+(k(b−a))2​+(c−b)2+(k(c−b))2​=?(c−a)2+(k(c−a))2​        ∣(…)2
(b−a)2+(k(b−a))2+2⋅((b−a)2+(k(b−a))2)⋅((c−b)2+(k(c−b))2)​+(c−b)2+(k(c−b))2=?(c−a)2+(k(c−a))2
(b−a)2+k2(b−a)2+2⋅((b−a)2+k2(b−a)2)⋅((c−b)2+(k2(c−b)2))​+(c−b)2+k2(c−b)2=?(c−a)2+k2(c−a)2
(b−a)2(1+k2)+2⋅(b−a)2(1+k2)⋅(c−b)2(1+k2)​+(c−b)2(1+k2)=?(c−a)2(1+k2)
(b−a)2(1+k2)+2⋅(b−a)2(c−b)2(1+k2)2​+(c−b)2(1+k2)=?(c−a)2(1+k2)
(b−a)2(1+k2)+2⋅(b−a)(c−b)(1+k2)+(c−b)2(1+k2)=?(c−a)2(1+k2)
(1+k2)((b−a)2+2⋅(b−a)(c−b)+(c−b)2)=?(c−a)2(1+k2)
(1+k2)((b−a)+(c−b))2=?(c−a)2(1+k2)
(1+k2)((b−a+c−b))2=?(c−a)2(1+k2)
(1+k2)(c−a)2=?(c−a)2(1+k2)
Równość jest więc spełniona.
b)
Weźmy dowolne punkty o współrzędnych:
(x1​,y1​)
(x2​,y2​)
(x3​,y3​)
...
Jeżeli punkty te leżą na wykresie funkcji y=kx, to:
y1​=kx1​
y2​=kx2​
y3​=kx3​
...
Mamy więc:
(x1​,kx1​)
(x2​,kx2​)
(x3​,kx3​)
...
Współczynniki kierunkowe prostych przechodzących przez każde dwa z tych punktów są równe k, ponieważ:
a=x2​−x1​kx2​−kx1​​=(x2​−x1​)​k(x2​−x1​)​​=k
Wyraz wolny b jest równy 0, ponieważ:
kx1​​=kx1​​+b
b=0
Wszystkie te punkty leżą więc na prostej o równaniu:
y=kx
Komentarze