Długość boku kwadratu  $ABCD$  oznaczmy przez  $2a$ .

Pole trójkąta  $KCL$  jest równe różnicy pola kwadratu  $ABCD$  i sumie pól trzech niezamalowanych trójkątów prostokątnych, czyli:

$P_{KCL}=P_{ABCD}-\left(P_{LAK}+P_{KBC}+P_{CDL}\right)$  

 

Pole trójkąta o podstawie długości  $a$  i wysokości  $h$  opuszczonej na tę podstawę jest równe:

$P=\frac{a\cdot h}{2}$  

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest wysokością opuszczoną na drugą przyprostokątną.

Obliczamy pole trójkąta  $KCL$ .

$P_{KCL}={\left|AB\right|}^2-\left(\frac{\left|LA\right|\cdot \left|AK\right|}{2}+\frac{\left|KB\right|\cdot \left|BC\right|}{2}+\frac{\left|CD\right|\cdot \left|DL\right|}{2}\right)$  

$P_{KCL}={\left(2a\right)}^2-\left(\frac{a\cdot a}{2}+\frac{a\cdot 2a}{2}+\frac{2a\cdot a}{2}\right)$  

$P_{KCL}=4a^2-\left(\frac{a^2}{2}+\frac{2a^2}{2}+\frac{2a^2}{2}\right)$  

$P_{KCL}=4a^2-\left(\frac{1}{2}{a}^2+a^2+a^2\right)$  

$P_{KCL}=4a^2-2\frac{1}{2}{a}^2$  

$P_{KCL}=1\frac{1}{2}{a}^2$  

Obliczamy stosunek pola trójkąta  $KCL$  i pola kwadratu  $ABCD$ .

$\frac{P_{KCL}}{P_{ABCD}}=\frac{1\frac{1}{2}{a}^2}{4a^2}=\frac{1\frac{1}{2}}{4}=\frac{\frac{3}{2}}{4}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}$  

Udowodniliśmy, że pole trójkąta  $KCL$  stanowi  $\frac{3}{8}$  pola kwadratu  $ABCD$ .