Ciąg ma postać: 

$a_n=7{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^{n-1}\text{gdzie}n\in {\mathbb{N}}_{+}\text{i}n<100$     

Chcemy obliczyć, ile wyrazów tego ciągu jest liczbami wymiernymi. 

Wyrazy będą wymierne, jeśli będziemy mogli przedstawić je w postaci ułamka  $\frac{p}{q}$  , gdzie p i q są liczbami całkowitymi oraz  $q\ne 0$ . 
Wynika z tego, że należy znaleźć takie wyrazy, w których nie występuje pierwiastek. 

Jeśli wykładnik potęgi będzie równy 0 lub będzie wielokrotnością liczby 3, to wartość pierwiastka będzie liczbą wymierną. 

Wykładnik potęgi jest równy n-1. 

Zastanówmy się dla jakich n będzie on równy 0. 

$n-1=0\mid +1$

$n=1$   

Dla n=1 wykładnik potęgi jest równy 0. 

Zastanówmy się teraz dla jakich n będzie on kolejnymi wielokrotnościami liczby 3.

Sprawdźmy to dla kilku wielokrotności liczby 3, które są mniejsze od 100. 

$n-1=3\mid +1$

$n=4$   

$n-1=6\mid +1$  

$n=7$  

$n-1=96\mid +1$

$n=97$   

$n-1=99\mid +1$

$n=100n<100,\text{więc wykładnik potęgi nie moz˙e bycˊ roˊwny 99}$   

Zauważmy, że otrzymujemy ciąg arytmetyczny, którego pierwszy wyraz jest równy 4, ostatni wyraz jest równy 97 a różnica wynosi 3. 

$a_1=4$  

$a_n=97$  

$r=3$  

Obliczamy ile wyrazów zawiera ten ciąg, czyli ile wynosi n. 

$97=4+\left(n-1\right)\cdot 3$  

$97=4+3n-3$  

$97=3n+1\mid -1$  

$96=3n\mid :3$  

$32=n$  

Ciąg ten zawiera 32 wyrazy. 

Doliczyć należy jeszcze wyraz równy 1. Łącznie mamy więc 32+1=33 wyrazy. 

Poprawna odpowiedź: B. 33