Jeżeli suma szeregu istnieje to:

$\left|q\right|<1$  

Pierwszy wyraz i iloraz u nas wynoszą:

$x^2,q=2x$  

czyli

$\left|2x\right|<1$  

$-1<2x<1$  

$-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}$  

Wtedy suma lewej strony nierówności może być zapisana jako:

$\frac{x^2}{1-2x}<\frac{1}{3}$  

Zatem:

$3x^2<1-2x$  

$3x^2+2x-1<0$  

$3x^2-x+3x-1<0$  

$x\left(3x-1\right)+\left(3x-1\right)<0$  

$\left(3x-1\right)\left(x+1\right)<0$  

$x_1=\frac{1}{3}\vee x_2=-1$  

$x\in \left(-1,\frac{1}{3}\right)$  

Uwzględniając założenie:

$x\in \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$