Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, wyznaczmy pochodną funkcji:

$f^{\text{′}}\left(x\right)={\left(9x-x^3\right)}^{\text{′}}={\left(9x\right)}^{\text{′}}-{\left(x^3\right)}^{\text{′}}=9-3x^2$  

Wyznaczmy miejsca zerowe pochodnej funkcji f:

$f^{\text{′}}\left(x\right)=0$  

$9-3x^2=0\mid :3$  

$3-x^2=0$  

$\left(\sqrt{3}-x\right)\left(\sqrt{3}+x\right)=0$  

$x_1=\sqrt{3}\vee x_2=-\sqrt{3}$  

Szukamy największej wartości w przedziale [0, 2] a wiec skupmy się na:

$x=\sqrt{3}$  

Obliczmy wartości funkcji w punktach:

$\left\{0,\sqrt{3},2\right\}$   

 

$f\left(0\right)=0$  

$f\left(\sqrt{3}\right)=9\sqrt{3}-{\left(\sqrt{3}\right)}^3=9\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$  

$f\left(2\right)=9\cdot 2-2^3=18-8=10$  

Zauważmy, że:

$6\sqrt{3}>10$  

bo

$\sqrt{36}\cdot \sqrt{3}>\sqrt{100}$  

$\sqrt{108}>\sqrt{100}$  

 

Największa wartość w przedziale [0, 2] to:

$f\left(\sqrt{3}\right)=6\sqrt{3}$