Rysunek poglądowy:

Prowadząc promienie do punktów styczności M, E, F otrzymujemy, że:

$\left|MS\right|=\left|SE\right|=\left|SF\right|=\left|GN\right|=\left|AM\right|$  

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DMS:

${\left|DS\right|}^2={\left|SM\right|}^2+{\left|DM\right|}^2$  

${\left|DM\right|}^2={\left|DS\right|}^2-{\left|SM\right|}^2$  

$\left|DM\right|=\sqrt{{\left|DS\right|}^2-{\left|SM\right|}^2}$    

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DES:

${\left|DS\right|}^2={\left|SE\right|}^2+{\left|DE\right|}^2$  

${\left|DE\right|}^2={\left|DS\right|}^2-{\left|SE\right|}^2$  

$\left|DE\right|=\sqrt{{\left|DS\right|}^2-{\left|SE\right|}^2}$  

Zauważmy, że:

$\left|DM\right|=\sqrt{{\left|DS\right|}^2-{\left|SM\right|}^2}=\sqrt{{\left|DS\right|}^2-{\left|SE\right|}^2}=\left|DE\right|$  

Trójkąty DMN i DAB są prostokąne oraz kąt przy wierzchołku D jest wspólny, zatem:

$\left|\angle DNM\right|=\left|\angle DBA\right|=\alpha$  

Skoro trójkąty SEN i NBG są prostokątne oraz:

$\left|SE\right|=\left|NG\right|$  

$\left|\angle ENS\right|=\left|\angle NBG\right|=\alpha$  

to znaczy, że są przystające zatem:

$\left|BN\right|=\left|NS\right|$  

A więc:

$\left|MN\right|=\left|MS\right|+\left|SN\right|=\left|AM\right|+\left|BN\right|=\left|AM\right|+\left|DE\right|=\left|AM\right|+\left|DM\right|=\left|AD\right|$  

Co kończy dowód.