Założenie:

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

Przepis funkcji:

$f\left(x\right)=x+9+\frac{x+9}{x+1}+\frac{x+9}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x+9}{{\left(x=1\right)}^3}+\dots =\left(x+9\right)\left(1+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(x+1\right)}^3}+\dots \right)$  

Suma szeregu istnieje gdy:

$\left|q\right|<1$  

$\left|\frac{1}{x+1}\right|<1$  

1/(|x+1|) < 1

$1<\left|x+1\right|$  

$1<x+1\vee x+1<-1$  

$0<x\vee x<-2$  

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,\infty \right)$  

Uwzględniając założenie:

$D_f=\left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,\infty \right)$  

Zatem:

$f\left(x\right)=\left(x+9\right)\cdot \left(\frac{1}{1-\frac{1}{x+1}}\right)=\left(x+9\right)\cdot \left(\frac{1}{\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}}\right)=\frac{x+9}{\frac{x}{x+1}}=\frac{\left(x+9\right)\left(x+1\right)}{x}=\frac{x^2+10x+9}{x}$  

Pochodna funkcji:

$f^{\text{′}}\left(x\right)=\frac{{\left(x^2+10x+9\right)}^{\text{′}}\cdot x-\left(x^2+10x+9\right)\cdot x^{\text{′}}}{x^2}=\frac{\left(2x+10\right)\cdot x-x^2-10x-9}{x^2}=\frac{2x^2+10x-x^2-10x-9}{x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x^2}$  

Dziedzina pochodnej funkcji f musi zawierac się w dziedzinie funkcji f. W naszym przypadku pokrywają się zatem:

$D_{f^{\text{′}}}=D_f$   

Miejscami zerowymi pochodnej są liczby -3 oraz 3. Sprawdźmy znak pochodnej:

$f^{\text{′}}\left(x\right)>0$  

$\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x^2}>0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,\infty \right)$

A więc dla x = -3 mamy maksimum lokalne a dla x = 3 minimum lokalne. Maksimum lokalne wynosi:

$f_{\max }\left(-3\right)=\frac{\left(-3+9\right)\cdot \left(-3+1\right)}{-3}=\frac{6\cdot \left(-2\right)}{-3}=\frac{6\cdot 2}{3}=2\cdot 2=4$  

Minimum lokalne:

$f_{\min }\left(3\right)=\frac{12\cdot 4}{3}=4\cdot 4=16$   

Funkcja f rośnie/maleje w tych przedziałach w których pochodna jest dodatnia/ujemna odpowiednio.

Funkcja f jest rosnąca w przedziałach:

$\left(-\infty ,-3\right],\left[3,\infty \right)$  

Zatem jest malejąca w:

$\left[-3,-2\right),\left(0,3\right]$