Z założenia:

$P\left(B\right)=2P\left(B{}^{\prime }\right)$

$P\left(B\right)=2\left(1-P\left(B\right)\right)$  

$P\left(B\right)=2-2P\left(B\right)$  

$3P\left(B\right)=2$  

$P\left(B\right)=\frac{2}{3}$  

A więc:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$  

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\mid B\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$  

Oraz

$P\left(B\mid A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$  

$P\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\mid A\right)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{6}\cdot 3=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$  

A więc:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=\frac{7}{6}-\frac{1}{6}=1$