Rozpatrzmy przypadki:

$\text{Dla}x\in \left[0,\pi \right]\cup \left\{2\pi \right\},\sin x\ge 0$  

${\left(x-3\right)}^2\cdot \sin x=\sin x$  

${\left(x-3\right)}^2\cdot \sin x-\sin x=0$  

$\sin x\cdot \left({\left(x-3\right)}^2-1\right)=0$  

$\sin x\cdot \left(x^2-6x+9-1\right)=0$  

$\sin x\cdot \left(x^2-6x+8\right)=0$  

Wyróżnik:

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}=2$  

$x_1=\frac{6-2}{2}=2\vee x_2=\frac{6+2}{2}=4$  

$\sin x\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0$

$\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in C$  

zauważmy, że rozpatrujemy

$x\in \left[0,\pi \right]\cup \left\{2\pi \right\}$  

więc rozwiązaniami należącymi do rozważanego zbioru są

$x\in \left\{0,2,\pi ,2\pi \right\}$  

$\text{Dla}x\in \left(\pi ,2\pi \right),\sin x<0$  

${\left(x-3\right)}^2\cdot \left(-\sin x\right)=\sin x$  

$-\sin x{\left(x-3\right)}^2-\sin x=0$  

$-\sin x\left({\left(x-3\right)}^2+1\right)=0$  

$\sin x\left(x^2-6x+9+1\right)=0$  

$\sin x\left(x^2-6x+10\right)=0$  

Wyróżnik:

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40<0$  

Brak rozwiązań w badanym przedziale.

A więc w całym przedziale mamy 4 rozwiązania naszego równania.