Obliczmy najpierw liczbę a.

$a={\left(3^{-\frac{1}{2}}+1\right)}^{-2}={\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{2}}+1\right)}^{-2}={\left(\sqrt{\frac{1}{3}}+1\right)}^{-2}=$      

$={\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)}^{-2}={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}+1\right)}^{-2}={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{3}\right)}^{-2}=$  

$={\left(\frac{\sqrt{3}+3}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{\sqrt{3}+3}\right)}^2=\frac{9}{{\sqrt{3}}^2+2\cdot \sqrt{3}\cdot 3+3^2}=$  

$=\frac{9}{3+6\sqrt{3}+9}=\frac{9}{12+6\sqrt{3}}=\frac{9}{6\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)}=\frac{3}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}=$  

$=\frac{3}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{2\left(2^2-{\sqrt{3}}^2\right)}=\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{2\cdot \left(4-3\right)}=\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}$  

 

Usuwając niewymierność z mianownika w liczbie b otrzymujemy:

$b=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\left(1-\sqrt{3}\right)}{1^2-{\sqrt{3}}^2}=$  

$=\frac{\sqrt{3}-3}{1-3}=\frac{\sqrt{3}-3}{-2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$  

 

Porównajmy liczbę a i b. Sprawdźmy, czy liczba a jest większa od liczby b.

$\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}>\frac{3-\sqrt{3}}{2}$  

$6-3\sqrt{3}>3-\sqrt{3}\mid -3+\sqrt{3}$  

$3-2\sqrt{3}>0$  

Powyższa nierówność nie jest spełniona.

Wobec tego liczba b jest większa od liczby a.