Przykładowy rysunek:

Postać ogólna prostej BC:

$y=-x+2$  

$x+y-2=0$  

Odległość punktu A od prostej BC:

$d=\frac{\left|1\cdot 2+1\cdot \left(-3\right)-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|2-3-2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$  

Prosta prostopadła do prostej BC przechodząca przez punkt A jest dana równaniem:

$y=px+q$  

$p\cdot \left(-1\right)=-1$  

$p=1$  

Wstawmy współrzędne punktu A:

$-3=2\cdot 1+q$  

$q=-5$  

Równanie tej prostej to:

$y=x-5$

Wyznaczmy punkt przecięcia prostej BC i prostej prostopadłej do prostej BC przechodzącej przez punkt A, oznaczmy go A'.

$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=x-5\end{array}$  

$-x+2=x-5$  

$2x=7$  

$x=\frac{7}{2}$  

czyli

$y=-\frac{7}{2}+2=-\frac{3}{2}$  

$A^{{}^{\prime }}=\left(\frac{7}{2},-\frac{3}{2}\right)$  

Pole trójkąta wynosi 5,1 zatem:

$P=5,1$   

$\frac{1}{2}\cdot \left|BC\right|\cdot d=5,1$  

$\left|BC\right|=\frac{10,2}{d}=10,2\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}=3,4\sqrt{2}=3\frac{2}{5}\sqrt{2}=\frac{17\sqrt{2}}{5}$  

Wiemy, że wysokość d opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną, dzieli ją na odcinki długości x, y. Wtedy:

$d^2=xy$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}x+y=\left|BC\right|\\ xy=d^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+y=\frac{17\sqrt{2}}{5}\\ xy=\frac{9}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{17\sqrt{2}}{5}-x\\ x\cdot \left(\frac{17\sqrt{2}}{5}-x\right)=\frac{9}{2}\end{array}$  

Rozwiążmy drugie równanie poza układem równań:

$\frac{17\sqrt{2}}{5}x-x^2=\frac{9}{2}\mid \cdot 10$  

$34\sqrt{2}x-10x^2=45$  

$10x^2-34\sqrt{2}x+45=0$  

$\Delta ={\left(34\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 10\cdot 45=2312-1800=512$  

$\sqrt{\Delta }=16\sqrt{2}$  

$x_1=\frac{34\sqrt{2}-16\sqrt{2}}{20}\vee x_2=\frac{34\sqrt{2}+16\sqrt{2}}{20}$  

$x_1=\frac{18\sqrt{2}}{20}\vee x_2=\frac{50\sqrt{2}}{20}$  

$x_1=\frac{9\sqrt{2}}{10}\vee x_2=\frac{5\sqrt{2}}{2}$  

czyli

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{9\sqrt{2}}{10}\\ y_1=\frac{34\sqrt{2}}{10}-\frac{9\sqrt{2}}{10}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y_2=\frac{34\sqrt{2}}{10}-\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{9\sqrt{2}}{10}\\ y_1=\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y_2=\frac{9\sqrt{2}}{10}\end{array}$  

Zauważmy, że jeżeli punkt A' byłby środkiem okręgu a jego promień miałby długość y₁ to na prostej y = -x+2 mielibyśmy punkty B₁ i C₂ jak na rysunku:

Równanie okręgu:

${\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2={\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2$   

Szukamy punktów wspólnych z prostą y = -x + 2.

$\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(-x+2+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}\\ y=-x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(-x+\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}\\ y=-x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}\\ y=-x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}\\ y=-x+2\end{array}$  

Rozwiążmy pierwsze równanie:

${\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$  

$\left|x-\frac{7}{2}\right|=\frac{5}{2}$  

$x-\frac{7}{2}=\frac{5}{2}\vee x-\frac{7}{2}=-\frac{5}{2}$  

$x_1^{{}^{\prime }}=\frac{12}{2}\vee x_2^{{}^{\prime }}=\frac{2}{2}$  

$x_1^{{}^{\prime }}=6\vee x_2^{{}^{\prime }}=1$  

czyli

$y_1^{{}^{\prime }}=-4\vee y_2^{{}^{\prime }}=1$  

A więc:

$B_1=\left(1,1\right),C_2=\left(6,-4\right)$   

Analogicznie jeżeli punkt A' byłby środkiem okręgu a jego promień miałby długość x₁ to na prostej y = -x + 2 mielibyśmy punkty B2 i C1 jak na rysunku:

Równanie okręgu:

${\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$  

Obliczmy współrzędne punktów wspólnych z prostą:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(-x+2+\frac{3}{2}\right)}^2={\left(\frac{9\sqrt{2}}{10}\right)}^2\\ y=-x+2\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(-x+\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{81\cdot 2}{100}\\ y=-x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{81\cdot 2}{100}\\ y=-x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{81}{100}\\ y=-x+2\end{array}$  

${\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{81}{100}$  

$\left|x-\frac{7}{2}\right|=\frac{9}{10}$  

$x-\frac{7}{2}=\frac{9}{10}\vee x-\frac{7}{2}=-\frac{9}{10}$  

−3510=910  ∨  𝑥−3510=−910x-3510=910  ∨  x-3510=-910 

 

$x_1=\frac{44}{10}\vee x_2=\frac{26}{10}$

$x_1=4,4\vee x_2=2,6$  

zatem

$y_1=-2,4\vee y_2=-0,6$  

 

Współrzędne punktów:

$B_2=\left(2,6,-0,6\right),C_1=\left(4,4,-2,4\right)$   

Zatem współrzędne to:

$B_1=\left(1,1\right),C_1=\left(4,4,-2,4\right)$   

$B_2=\left(2,6,-0,6\right),C_2=\left(6,-4\right)$