$x\in \left(0,{90}^{\circ }\right)$  

Wobec tego wiadomo, że:

$\sin x>0,\cos x>0,\mathrm{tg}x>0$  

 

Sprawdźmy I.

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy:  

$L=\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)=1^2-{\cos }^{2}x=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$  

Zatem równość nie jest prawdziwa.

 

Sprawdźmy II.

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy:

$L=\sin 2x+\cos 2x=2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$  

Rozpisując prawą stronę równości otrzymujemy:

$P={\left(\sin x-\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x-2snx\cos x+{\cos }^{2}x$  

Zatem równość nie jest prawdziwa.

 

Sprawdźmy III.

$L={\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^2={\sin }^2\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}=$  

$=1-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=1-\sin \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=1-\sin x=P$  

Zatem równość jest prawdziwa.

 

Sprawdźmy IV.

Rozpisując lewą stronę równości otrzymujemy:

$L={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x$  

Rozpisując prawą stronę równości otrzymujemy:

$P=\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$  

Zatem równość nie jest prawdziwa, ponieważ:

$1+2\sin x\cos x=1-2{\sin }^{2}x\mid -1$  

$2\sin x\cos x=-2{\sin }^{2}x\mid :2\sin x$  

$\cos x=-\sin x$  

Powyższa równość nie zawsze jest spełniona.

 

Zatem ostatecznie:

I - FAŁSZ

II - FAŁSZ

III - PRAWDA

IV - FAŁSZ