a) Rysunek poglądowy:

Trójkąt OBC jest równoboczny, zatem miary kątów wewnętrznych są równe i wynoszą 60^o. Kąt oparty na średnicy ma miarę 90^o, czyli:

$\left|\angle OCA\right|={90}^o-{60}^o={30}^o$  

Trójkąt OCA jest równoramienny zatem:

$\left|\angle CAO\right|={30}^o$  

A więc:

$\alpha ={90}^o-\left|\angle CAO\right|={90}^o-{30}^o={60}^o$  

 

b) Rysunek poglądowy:

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180^o:

${120}^o+{15}^o+\gamma ={180}^o$  

${135}^o+\gamma ={180}^o$  

$\gamma ={45}^o$  

 

Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym:

$\beta =\frac{1}{2}\cdot {120}^o={60}^o$  

 

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180^o:

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^o$  

$\alpha +{60}^o+{45}^o={180}^o$  

$\alpha ={75}^o$  

 

c) Trójkąt równoramienny ma równy kąty przy podstawie, zatem przy podstawie ten trójkąt ma dwa kąty:

$\alpha ,\alpha$    

A więc przy wierzchołku O kąt ma miarę:

${180}^o-2\alpha$  

 

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

${180}^o-2\alpha +{55}^o={180}^o$  

$-2\alpha +{55}^o=0$  

$2\alpha ={55}^o$  

$\alpha ={27,5}^o$  

 

d) Mamy podany jeden kąt o mierze 45^o przy podstawie trójkąta równoramiennego, zatem drugi ma taką samą miarę. Z tego wynika, że jest to trójkąt równoramienny prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku O. Kąty wierzchołkowe są równe zatem:

$\alpha =\left({90}^o-{50}^o\right)={40}^o$