Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Obliczmy długość boku tego rombu:

$\sin {75}^{\circ }=\sin \left({30}^{\circ }+{45}^{\circ }\right)=\sin {30}^{\circ }\cdot \cos {45}^{\circ }+\cos {30}^{\circ }\cdot \sin {45}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$  

$\frac{a}{\sin {75}^{\circ }}=\frac{10}{\frac{1}{2}}$  

$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=20$  

$\frac{4a}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=20\mid :4$  

$\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=5$  

$a=5\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)$  


Obliczmy długość obwodu tego rombu:

$L=4\cdot 5\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)=20\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)$  


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość dłuższej przekątnej tego rombu:

$5^2+d^2={\left(5\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\right)}^2$  

$25+d^2=25\cdot \left(2+2\sqrt{12}+6\right)$  

$25+d^2=25\cdot \left(8+2\sqrt{12}\right)$  

$25+d^2=25\cdot \left(8+4\sqrt{3}\right)\mid -25$  

$d^2=25\cdot \left(8+4\sqrt{3}\right)-25$  

$d^2=25\cdot \left(8+4\sqrt{3}-1\right)\mid \sqrt{}$  

$d=\sqrt{25\cdot \left(7+4\sqrt{3}\right)}$  

$d=5\sqrt{7+4\sqrt{3}}$  

$d=5\sqrt{4+2\cdot 2\sqrt{3}+3}$  

$d=5{\sqrt{2+\sqrt{3}}}^2$  

$d=5\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)$  

zatem:

$2d=2\cdot 5\cdot \left(2+\sqrt{3}\right)=10\left(2+\sqrt{3}\right)$  


Obliczmy pole powierzchni tego rombu:

$P=\frac{10\cdot 10\left(2+\sqrt{3}\right)}{2}=5\cdot 10\left(2+\sqrt{3}\right)=50\left(2+\sqrt{3}\right)$  


Obliczmy długość wysokości tego rombu:

$50\left(2+\sqrt{3}\right)=h\cdot 5\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)$  

$h=\frac{50\left(2+\sqrt{3}\right)}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}$  

$h=\frac{10\left(2+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$  

$h=\frac{10\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{2-6}$  

$h=\frac{\left(20+10\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{-4}$  

$h=\frac{20\sqrt{2}-20\sqrt{6}+10\sqrt{6}-10\sqrt{18}}{-4}$  

$h=\frac{20\sqrt{2}-10\sqrt{6}-30\sqrt{2}}{-4}$  

$h=\frac{-10\sqrt{2}-10\sqrt{6}}{-4}$  

$h=\frac{5\sqrt{2}+5\sqrt{6}}{2}$  


Odp.: C