Rozwiąż nierówność.- Zadanie 83: Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Zał:

$x \neq = 0$

$(34)^{\frac{x + 9}{x}} \geq (5316)^{\frac{3 x + 2}{2 x}}$

$(32)^{\frac{x + 9}{x}} \geq (5 16^{\frac{1}{3}})^{\frac{3 x + 2}{2 x}}$

$(2^{\frac{1}{3}})^{\frac{x + 9}{x}} \geq ((16^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{5}})^{\frac{3 x + 2}{2 x}}$

$2^{\frac{x + 9}{3 x}} \geq (((2^{4})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{5}})^{\frac{3 x + 2}{2 x}}$

$2^{\frac{x + 9}{3 x}} \geq (2^{\frac{4}{15}})^{\frac{3 x + 2}{2 x}}$

$2^{\frac{x + 9}{3 x}} \geq 2^{\frac{12 x + 8}{30 x}}$

$\frac{x + 9}{3 x} \geq \frac{12 x + 8}{30 x} ∣ \cdot 30 x^{2}$

$10 x (x + 9) \geq (12 x + 8) x$

$10 x^{2} + 90 x \geq 12 x^{2} + 8 x ∣ - 12 x^{2} - 8 x$

$- 2 x^{2} + 82 x \geq 0 ∣ : (- 2)$

$x^{2} - 41 x \leq 0$

$x (x - 41) \leq 0$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (0, 41 ⟩$

$(7^{3 x + 2} - 7) (7^{3 x + 2} + 7) > 0$

$(7^{3 x + 2})^{2} - 7^{2} > 0$

$7^{6 x + 4} - 7 > 0$

$7^{6 x + 4} > 7$

$6 x + 4 > 1 ∣ - 4$

$6 x > - 3 ∣ : 6$

$x > - \frac{1}{2}$

$8 \cdot 2^{2 (3 x - 1)} - 6 \cdot 2^{3 x - 1} + 1 \leq 0$

$8 \cdot (2^{3 x - 1})^{2} - 6 \cdot 2^{3 x - 1} + 1 \leq 0$

Podstawmy $2^{3 x - 1} = t$

$8 t^{2} - 6 t + 1 \leq 0$

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$

$t_{1} = \frac{6 - 2}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$t_{2} = \frac{6 + 2}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$t \in ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} ⟩$

Zatem otrzymujemy:

$2^{3 x - 1} = \frac{1}{2} \lor 2^{3 x - 1} = \frac{1}{4}$

$2^{3 x - 1} = 2^{- 1} \lor 2^{3 x - 1} = 2^{- 2}$

$3 x - 1 = - 1 \lor 3 x - 1 = - 2$

$3 x = 0 \lor 3 x = - 1$

$x = 0 \lor x = - \frac{1}{3}$

$x \in ⟨ - \frac{1}{3}, 0 ⟩$

$(2^{x} \cdot 4^{x + 2} \cdot 8^{x - 4})^{- 1} > 16^{- 3 x + 5}$

$(2^{x} \cdot (2^{2})^{x + 2}) \cdot (2^{3})^{x - 4})^{- 1} > (2^{4})^{- 3 x + 5}$

$(2^{x} \cdot 2^{2 x + 4} \cdot 2^{3 x - 12})^{- 1} > 2^{- 12 x + 20}$

$(2^{x + 2 x + 4 + 3 x - 12})^{- 1} > 2^{- 12 x + 20}$

$(2^{6 x - 8})^{- 1} > 2^{- 12 x + 20}$

$2^{- 6 x + 8} > 2^{- 12 x + 20}$

$- 6 x + 8 > - 12 x + 20 ∣ + 12 x - 8$

$6 x > 12 ∣ : 6$

$x > 2$

$(0, 3)^{\frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 x - 5}} > 2^{\frac{1}{2 x - 5}} \cdot (\frac{3}{5})^{- \frac{1}{2 x - 5}}$

$(0, 3)^{\frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 x - 5}} > 2^{\frac{1}{2 x - 5}} \cdot (\frac{5}{3})^{\frac{1}{2 x - 5}}$

$(0, 3)^{\frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 x - 5}} > (2 \cdot \frac{5}{3})^{\frac{1}{2 x - 5}}$

$(\frac{3}{10})^{\frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 x - 5}} > (\frac{10}{3})^{\frac{1}{2 x - 5}}$

$(\frac{10}{3})^{- \frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 x - 5}} > (\frac{10}{3})^{\frac{1}{2 x - 5}}$

$- \frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 x - 5} > \frac{1}{2 x - 5} ∣ \cdot (2 x - 5)^{2}$

$- (3 x^{2} - 4 x) (2 x - 5) > 2 x - 5 ∣ - (2 x - 5)$

$- (3 x^{2} - 4 x) (2 x - 5) - (2 x - 5) > 0$

$(2 x - 5) \cdot [- (3 x^{2} - 4 x) - 1] > 0$

$(2 x - 5) (- 3 x^{2} + 4 x - 1) > 0$

$Δ = 4^{4} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 1) = 16 - 12 = 4$

$x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 6}{- 6} = 1$

$x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2 \cdot ( - 3 )} = \frac{- 2}{- 6} = \frac{1}{3}$

$2 (x - \frac{5}{2}) \cdot (- 3) (x - 1) (x - \frac{1}{3}) > 0 ∣ : (- 6)$

$(x - \frac{5}{2}) (x - 1) (x - \frac{1}{3}) < 0$

$x \in (- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{5}{2})$

$(\frac{2}{3})^{4 x - 1} \cdot (\frac{3}{2})^{2 - 3 x} \geq (\frac{8}{27})^{2 x}$

$(\frac{2}{3})^{4 x - 1} \cdot ((\frac{2}{3})^{- 1})^{2 - 3 x} \geq ((\frac{2}{3})^{3})^{2 x}$

$(\frac{2}{3})^{4 x - 1} \cdot (\frac{2}{3})^{- 2 + 3 x} \geq (\frac{2}{3})^{6 x}$

$(\frac{2}{3})^{4 x - 1 - 2 + 3 x} \geq (\frac{2}{3})^{6 x}$

$(\frac{2}{3})^{7 x - 3} \geq (\frac{2}{3})^{6 x}$

Zauważmy, że funkcja $f (x) = (\frac{2}{3})^{x}$ jest funkcją malejącą, zatem należy zmienić znak nierówności.

$7 x - 3 \leq 6 x ∣ - 6 x + 3$

$x \leq 3$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.