a) 4(x−5)2−121≤0
4(x−5)2≤121 /:4
(x−5)2≤(211)2
x−5≤211 ∧ x−5≥−211
x≤221 ∧ x≥−21
x∈⟨−21, 1021⟩
b) 23(x+4)2+2>0
23(x+4)2>−2 /:32
(x+4)2>−34
Nierówność jest spełniona dla każdego x∈R.
c) 1,(3)(x+1311)2+0,(285714)≤0
Najpierw zamieńmy ułamki okresowe na ułamki zwykłe:
1,(3)=x ∣⋅10
13,(3)=10x
Odejmując drugie równanie od pierwszego równania:
13,(3)−1,(3)=10x−x
12=9x ∣:9
912=x
34=x
0,(285714)=y ∣⋅1000000
285714,(285714)=1000000y
Odejmując drugie równanie od pierwszego równania:
285714,(285714)−0,(285714)=1000000y−y
285714=999999y ∣:999999
999999285714=y
11111131746=y
72=y
Zatem równanie jest postaci:
34(x+1311)2+72≤0 ∣⋅21
28(x+1311)2+6≤0 ∣:2
14(x+1311)2+3≤0 ∣−3
14(x+1311)2≤−3
Łatwo zauważyć, że nierówność jest sprzeczna, ponieważ po lewej stronie zawsze będzie liczba nieujemna, czyli większa od -3.
d) 12x2−6x−9>0 /:3
4x2−2x−3>0
Δ=4+4⋅12=4+48=52, Δ=213
x1=82−213=41−13 ∨ x2=82+213=41+13
Szkicujemy wykres:
Odczytujemy rozwiązanie nierówności:
x∈(−∞, 41−13)∪(41+13,+∞)
e) 3(−x−4)2+11x≥4x+8−(−x+2)2
3(x2+8x+16)+11x≥4x+8−(x2−4x+4)
3x2+24x+48+11x≥4x+8−x2+4x−4
4x2+27x+44≥0
4x2+16x+11x+44≥0
4x(x+4)+11(x+4)≥0
(4x+11)(x+4)≥0
x=−411 ∨ x=−4
Szkicujemy wykres:
Odczytujemy rozwiązanie nierówności:
x∈(−∞,−4⟩∪⟨−243,+∞)
f) −x2−10x+25≤−10x2−4x+24
9x2−6x+1≤0
(3x−1)2≤0− kwadrat liczby jest niedodatni tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa 0
3x−1=0
3x=1 /:3
x=31
g) −4<x2−4x≤5
−4<x2−4x ∧ x2−4x≤5
0<x2−4x+4 ∧ x2−4x−5≤0
0<(x−2)2 ∧ x2−4x−5≤0
Rozwiązaniem pierwszej nierówności jest: x∈R\{2}
Rozwiążmy drugą nierówność:
Δ=(−4)2−4⋅1⋅(−5)=16+20=36
x1=24−6=2−2=−1
x2=24+6=210=5
x∈⟨−1,5⟩
Zatem ostatecznie rozwiązanie obu nierówności:
x∈⟨−1,5⟩\{2}
h) 0≤4x2+12x≤−9
0≤4x2+12x ∧ 4x2+12x≤−9
0≤4x(x+3) ∧ 4x2+12x+9≤0
Rozwiązując pierwszą nierówność:
x1=0, x2=−3
x∈(−∞,−3⟩∪⟨0,+∞)
Rozwiązując drugą nierówność:
Δ=122−4⋅4⋅9=144−144=0
x=2⋅4−12=8−12=−23
4(x+23)2≤0 ∣:4
(x+23)2≤0
Zauważmy, że tą nierówność spełnia jedynie x=−23
Zatem ostateczne rozwiązanie obu nierówności:
x∈∅
