Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

a) Pole trójkąta ABC zapisujemy jako sumę pól trójkątów ACD i DBC:

$\frac{1}{2}\left|AC\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \sin {120}^{\circ }=\frac{1}{2}\left|AC\right|x\sin {60}^{\circ }+\frac{1}{2}\left|BC\right|x\sin {60}^{\circ }$  

$\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot x\cdot \sin {60}^{\circ }+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot x\cdot \sin {60}^{\circ }$  

$9\sin {60}^{\circ }=\frac{1}{2}x\sin {60}^{\circ }\left(6+3\right)\mid :\sin {60}^{\circ }$  

$9=\frac{1}{2}x\cdot 9\mid \cdot \frac{2}{9}$  

$x=2$  

Odp. |CD|=2.

---

b) Oznaczmy:

β - kąt przy wierzchołku B

r - promień okręgu opisanego na trójkącie DBC

R - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC 

---

Z tw. sinusów dla trójkąta ABC:

$2R=\frac{\left|AC\right|}{\sin \beta }$  

$2R=\frac{6}{\sin \beta }\mid :2$  

$R=\frac{3}{\sin \beta }$  

---

Z tw. sinusów dla trójkąta DBC:

$2r=\frac{\left|CD\right|}{\sin \beta }$  

$2r=\frac{2}{\sin \beta }\mid :2$  

$r=\frac{1}{\sin \beta }$  

---

Mamy więc:

$R:r=\frac{3}{\sin \beta }:\frac{1}{\sin \beta }=3:1$  

---

Odp. Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest trzy razy dłuższy.