Rysunek pomocniczy:

---

Zakładamy, że:

$a,b,c,R>0$  

$\frac{a}{c}\cdot \sin \alpha +\frac{b}{c}\cdot \sin \beta =\sin \gamma$  

---

Z tw. sinusów:

$2R=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$  

A więc:

$\frac{a}{2R}=\sin \alpha$   

$\frac{b}{2R}=\sin \beta$  

$\frac{c}{2R}=\sin \gamma$  

---

Przekształcamy równoważnie daną równość, korzystając z powyższych zależności.

$\frac{a}{c}\cdot \sin \alpha +\frac{b}{c}\cdot \sin \beta =\sin \gamma$  

$\frac{a}{c}\cdot \frac{a}{2R}+\frac{b}{c}\cdot \frac{b}{2R}=\frac{c}{2R}\mid \cdot 2R,R\ne 0$  

$\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}=c\mid \cdot c,c\ne 0$  

$a^2+b^2=c^2$  

Boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa, więc, na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, trójkąt jest prostokątny, co należało dowieść.