Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami...- Zadanie 6.81: Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum - strona 172

Promocja na roczny dostęp z okazji Dnia Dziecka!

4 dni

:

2 h

:

9 min

:

41 sek

Rozwiązanie

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

$1) sin^{2} α + cos^{2} α = 1, je \overset{s}{ˊ} li α jest dowolnym k ą tem$

$2) tg α \cdot ctg α = 1, je \overset{s}{ˊ} li α \neq = k \cdot 90^{\circ}, gdzie k \in C$

$3) \frac{sin α}{cos α} = tg α, je \overset{s}{ˊ} li α \neq = 90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}, gdzie k \in C$

$4) \frac{cos α}{sin α} = ctg α, je \overset{s}{ˊ} li α \neq = k \cdot 180^{\circ}, gdzie k \in C$

Tożsamość 1) nazywamy jedynką trygonometryczną.

$a) 1 - 2 sin^{2} α = 1) sin^{2} α + cos^{2} α - 2 sin^{2} α = cos^{2} α - sin^{2} α = cos^{2} α - sin^{2} α + (cos^{2} α - cos^{2} α) = 2 cos^{2} α - (sin^{2} α + cos^{2} α) = 1) 2 cos^{2} α - 1$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$b) cos^{2} α - sin^{2} α = cos^{2} α - sin^{2} α + (cos^{2} α - cos^{2} α) = 2 cos^{2} α - (sin^{2} α + cos^{2} α) = 1) 2 cos^{2} α - 1$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$c) sin α \cdot (\frac{1}{sin α} - sin α) = \frac{sin α}{sin α} - sin^{2} α = 1 - sin^{2} α = 1) cos^{2} α$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$d) cos α \cdot (\frac{1}{cos α} - cos α) = \frac{cos α}{cos α} - cos^{2} α = 1 - cos^{2} α = 1) sin^{2} α$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$e) \frac{2}{cos ^{2} α} - 1 = 1) \frac{2 ( sin ^{2} α + cos ^{2} α )}{cos ^{2} α} - 1 = \frac{2 sin ^{2} α + 2 cos ^{2} α}{cos ^{2} α} - 1 = 2 \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} + 2 \frac{cos ^{2} α}{cos ^{2} α} - 1 = 2 (\frac{sin α}{cos α})^{2} + 2 - 1 = 2 tg^{2} α + 1 = 1 + 2 tg^{2} α$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$f) \frac{2}{sin ^{2} α} - 1 = 1) \frac{2 ( sin ^{2} α + cos ^{2} α )}{sin ^{2} α} - 1 = \frac{2 sin ^{2} α + 2 cos ^{2} α}{sin ^{2} α} - 1 = 2 \frac{sin ^{2} α}{sin ^{2} α} + 2 \frac{cos ^{2} α}{sin ^{2} α} - 1 = 2 + 2 (\frac{cos α}{sin α})^{2} - 1 = 1 + 2 ctg^{2} α$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$g) \frac{1}{1 - cos α} + \frac{1}{1 + cos α} = \frac{1}{1 - cos α} \cdot \frac{1 + cos α}{1 + cos α} + \frac{1}{1 + cos α} \cdot \frac{1 - cos α}{1 - cos α} = \frac{1 + cos α}{1 - cos ^{2} α} + \frac{1 - cos α}{1 - cos ^{2} α} = 1) \frac{1 + cos α}{sin ^{2} α} + \frac{1 - cos α}{sin ^{2} α} = \frac{1 + cos α + 1 - cos α}{sin ^{2} α} = \frac{2}{sin ^{2} α}$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$h) \frac{1}{1 - sin α} + \frac{1}{1 + sin α} = \frac{1}{1 - sin α} \cdot \frac{1 + sin α}{1 + sin α} + \frac{1}{1 + sin α} \cdot \frac{1 - sin α}{1 - sin α} = \frac{1 + sin α}{1 - sin ^{2} α} + \frac{1 - sin α}{1 - sin ^{2} α} = 1) \frac{1 + sin α}{cos ^{2} α} + \frac{1 - sin α}{cos ^{2} α} = \frac{1 + sin α + 1 - sin α}{cos ^{2} α} = \frac{2}{cos ^{2} α}$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$i) \frac{ctg α - cos α}{ctg α} = \frac{ctg α}{ctg α} - \frac{cos α}{ctg α} = 1 - \frac{cos α}{\frac{c o s α}{s i n α}} = 1 - cos α \cdot \frac{sin α}{cos α} = 1 - sin α$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

$j) \frac{tg α - sin α}{tg α} = \frac{tg α}{tg α} - \frac{sin α}{tg α} = 1 - \frac{sin α}{\frac{s i n α}{c o s α}} = 1 - sin α \cdot \frac{cos α}{sin α} = 1 - cos α$

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.