Będą nam potrzebne:

twierdzenie o odcinkach stycznej i siecznej:

Jeżeli przez punkt  $P,$  którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, poprowadzimy styczną do okręgu w punkcie  $A$  i sieczną przecinającą okrąg w punktach  $B$  i  $C,$   to  ${\left|PA\right|}^2=\left|PB\right|\cdot \left|PC\right|.$

analogiczne twierdzenie dla cięciw:

Jeżeli dwie proste przecinają okrąg odpowiednio w punktach  $A$  i  $B$  oraz  $C$  i  $D,$  a także przecinają się w punkcie  $P,$  z którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, to  $\left|PA\right|\cdot \left|PB\right|=\left|PC\right|\cdot \left|PD\right|.$  

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$\left|PA\right|=8\text{cm}$  

$\left|PB\right|=6\text{cm}$  

$\left|PC\right|=12\text{cm}$  

---

Korzystając z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej obliczamy długość odcinka  $PQ:$  

${\left|PC\right|}^2=\left|PA\right|\cdot \left|PQ\right|$  

${12}^2=8\cdot \left|PQ\right|$  

$144=8\left|PQ\right|\mid :8$  

$\left|PQ\right|=18\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy długość średnicy  $AQ:$  

$\left|AQ\right|=\left|PQ\right|-\left|PA\right|$  

$\left|AQ\right|=18-8=10\left[\text{cm}\right]$  

---

Korzystając z twierdzenia dla cięciw obliczamy długość odcinka  $PE:$  

$\left|PB\right|\cdot \left|PE\right|=\left|PA\right|\cdot \left|PQ\right|$  

$6\cdot \left|PE\right|=8\cdot 18\mid :6$  

$\left|PE\right|=8\cdot 3$  

$\left|PE\right|=24\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy długość średnicy  $BE:$  

$\left|BE\right|=\left|PE\right|-\left|PB\right|$  

$\left|BE\right|=24-6=18\left[\text{cm}\right]$  

---

Zauważmy, że trójkąt  $\Delta AQ{O}_1$  jest równoramienny. Ramiona mają długość promienia okręgu o środku  $O_1,$  a podstawa jest średnicą okręgu o środku  $O_2.$  Punkt  $O_2$  jest środkiem odcinka  $AQ,$  więc odcinek  $O_1{O}_2$  jest wysokością tego trójkąta.

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $\Delta A{O}_1{O}_2$  obliczamy odległość między środkami okręgów:

${\left|O_1{O}_2\right|}^2+{\left|O_{2}A\right|}^2={\left|A{O}_1\right|}^2$  

${\left|O_1{O}_2\right|}^2+{\left(\frac{1}{2}\left|AQ\right|\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\left|BE\right|\right)}^2$  

${\left|O_1{O}_2\right|}^2+5^2=9^2$  

${\left|O_1{O}_2\right|}^2+25=81$  

${\left|O_1{O}_2\right|}^2=56$  

$\left|O_1{O}_2\right|=2\sqrt{14}\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp.  $\left|O_1{O}_2\right|=2\sqrt{14}\text{cm}.$