Trójkąt  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  jest podobny do trójkąta  $\Delta ABC$  wtedy, gdy  $\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}$  

oraz  $\left|\angle A_1\right|=\left|\angle A\right|,\left|\angle B_1\right|=\left|\angle B\right|,\left|\angle C_1\right|=\left|\angle C\right|.$  

---

Cechy podobieństwa trójkątów: 

(bbb) Jeżeli długości boków trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  są proporcjonalne do odpowiednich długości boków

trójkąta  $\Delta ABC,$  czyli  $\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|},$  to te trójkąty są podobne.

(bkb) Jeżeli długości dwóch boków trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  są proporcjonalne do odpowiednich długości

dwóch boków trójkąta  $\Delta ABC,$  czyli  $\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}$  oraz kąty między tymi bokami są równe,

to trójkąty te są podobne.

(kkk) Jeżeli dwa kąty trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  są odpowiednio równe dwóm kątom trójkąta  $\Delta ABC,$  

czyli  $\left|\angle A_1\right|=\left|\angle A\right|,\left|\angle C_1\right|=\left|\angle C\right|,$  to trójkąty te są podobne. 

---

---

$\text{a)}DE\text{||}BC,$  więc:

$\left|\angle AED\right|=\left|\angle ACB\right|$  oraz  $\left|\angle EDA\right|=\left|\angle CBD\right|.$  

Zatem  $\Delta ADE\sim \Delta ABC$   na podstawie cechy kkk.

---

$\text{b)}$  Trójkąty  $\Delta ABD$  i  $\Delta AEC$  mają jeden wspólny kąt - kąt  $BAC$  oraz po jednym kącie prostym.

Są więc podobne na podstawie cechy kkk.

---

$\text{c)}$  Trójkąty  $\Delta ADC$  i  $\Delta CFE$  mają jeden wspólny kąt - kąt  $ACD$  oraz po jednym kącie prostym.

Są więc podobne na podstawie cechy kkk.

---

$\text{d)}\left|\angle ESB\right|=\left|\angle CSD\right|,$  bo są to kąty wierzchołkowe.

Zatem trójkąty  $\Delta ESB$  i  $\Delta CSD$  mają po dwa kąty równych miar (wyżej wymienione kąty wierzchołkowe

i kąty proste), a więc są podobne na podstawie cechy kkk.

---

$\text{e)}$  Trójkąty  $\Delta ABC$  i  $\Delta ADC$  mają jeden wspólny kąt - kąt  $BAC$  oraz po jednym kącie prostym.

Są więc podobne na podstawie cechy kkk.

---

$\text{f)}AB\text{||}CD,$  więc:

$\left|\angle BAS\right|=\left|\angle DCS\right|$  oraz  $\left|\angle SBA\right|=\left|\angle SDC\right|.$  

Zatem  $\Delta ABS\sim \Delta CDS$   na podstawie cechy kkk.

---

$\text{g)}AB\text{||}CD,AD\text{||}BC,$  więc czworokąt  $ABCD$  jest równoległobokiem.

Stąd:

$\left|\angle BAD\right|=\left|\angle DCB\right|.$  

W takim razie trójkąty  $\Delta AED$  i  $\Delta DFC$  mają po dwa kąty równych miar (wyżej wymienione kąty  $BAD$  

i  $DCB$  oraz kąty proste), a więc są podobne na podstawie cechy kkk.

---

$\text{h)}$  Czworokąt  $ADEC$  jest wpisany w okrąg, więc  $\left|\angle DAC\right|+\left|\angle CED\right|={180}^{\circ }.$  

Stąd  $\left|\angle DEB\right|=\left|\angle DAC\right|={180}^{\circ }-\left|\angle CED\right|.$  

Trójkąty  $\Delta ABC$  i  $\Delta DBE$  mają jeden kąt wspólny - kąt  $CBA$  oraz po jednym kącie o takich samych miarach 

$\left(\angle DEB,\angle DAC\right),$  więc są podobne na podstawie cechy kkk.