Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Założenie:

Miara kąta między stycznymi jest równa mierze kąta między promieniami

poprowadzonymi ze środka koła do punktów styczności.

---

Teza:

Czworokąt  $ABOC$  jest kwadratem.

---

Dowód:

Zauważmy, że promienie są prostopadłe do stycznych okręgu.

Z sumy kątów czworokąta mamy:

$2\alpha +2\cdot {90}^{\circ }={360}^{\circ }$  

$2\alpha +{180}^{\circ }={360}^{\circ }$  

$2\alpha ={180}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha ={90}^{\circ }$  

Oznacza to, że czworokąt  $ABOC$  jest prostokątem.

---

Skoro czworokąt  $ABOC$  jest prostokątem, to

$\left|AC\right|=\left|BO\right|$  oraz  $\left|AB\right|=\left|CO\right|$  

---

Z drugiej strony odcinki  $CO$  i  $BO$  to promienie okręgu, więc:

$\left|CO\right|=\left|BO\right|$  

---

Mamy więc:

$\left|AC\right|=\left|BO\right|=\left|CO\right|=\left|AB\right|$  

---

Powyższy zapis oznacza, że prostokąt  $ABOC$  ma wszystkie boki równej długości,

a więc jest kwadratem, co należało dowieść.