Założenia:

$a>0,b>0$  

---

Teza:

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$  

---

Dowód (wprost):

Zauważmy, że prawdziwa jest nierówność:

${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$  

Stąd:

${\left(\sqrt{a}\right)}^2-2\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$  

$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$  

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\mid :2$  

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},$  co należało dowieść