$\text{a)}$ Obliczamy $\log {2008}^{2008}.$ Korzystamy najpierw z własności logarytmu,

a następnie $\log 2008$ obliczamy na kalkulatorze:

$\log {2008}^{2008}=2008\log 2008=\underset{\text{cecha}}{\underbrace{6631}},\underset{\text{mantysa}}{\underbrace{9495266\dots }}$  

Liczba ${2008}^{2008}$ ma w rozwinięciu dziesiętnym $6632\left(6631+1\right)$ cyfr.

Niech teraz:

${2008}^{2008}=a\cdot {10}^n,$ gdzie $a\in ⟨1,10)$  

Zatem:

$\log a=0,9495266\dots$ i $n=6631$  

$a={10}^{0,9495266\dots }\approx 8,9028$  

Mamy więc:

${2008}^{2008}\approx 8,9028\cdot {10}^{6631}$  

---

$\text{b)}$ Obliczamy $\log 5^{6^7}.$ Korzystamy najpierw z własności logarytmu,

a następnie $\log 5$ obliczamy na kalkulatorze:

$\log 5^{6^7}=6^7\log 5=\underset{\text{cecha}}{\underbrace{195666}},\underset{\text{mantysa}}{\underbrace{8671338077\dots }}$  

Liczba $5^{6^7}$ ma w rozwinięciu dziesiętnym $195667\left(195666+1\right)$ cyfr.

Niech teraz:

$5^{6^7}=a\cdot {10}^n,$ gdzie $a\in ⟨1,10)$  

Zatem:

$\log a=0,8671338077\dots$ i $n=195666$  

$a={10}^{0,8671338077\dots }\approx 7,3643$  

Mamy więc:

$5^{6^7}\approx 7,3643\cdot {10}^{195666}$