Oznaczmy:

a, b - przyprostokątne trójkąta

2a - przeciwprostokątna trójkąta

r - promień koła wpisanego w trójkąt 

R - promień koła opisanego na trójkącie 

---

Z tw. Pitagorasa wyznaczamy długość przyprostokątnej b w zależności od a:

$a^2+b^2={\left(2a\right)}^2$  

$a^2+b^2=4a^2$  

$b^2=3a^2$  

$b=\sqrt{3}a$  

---

Promień koła opisanego na trójkącie ma długość połowy przeciwprostokątnej:

$R=\frac{2a}{2}=a$  

---

Obliczamy promień koła wpisanego w trójkąt:

$r=\frac{a+b-2a}{2}=\frac{a+\sqrt{3}a-2a}{2}=\frac{\sqrt{3}a-a}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}a$  

---

Obliczamy stosunek pola koła wpisanego w trójkąt do pola koła opisanego na trójkącie:

$\frac{P_w}{P_o}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\frac{r^2}{R^2}={\left(\frac{r}{R}\right)}^2={\left(\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}a}{a}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)}^2=\frac{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}{2^2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$