a) Rysunek pomocniczy:

---

Mamy dane:

$\left|DE\right|=4\text{cm}$  

---

Trójkąt ADE jest połówką trójkąta równobocznego. Stąd:

$\left|AD\right|=2\left|DE\right|=2\cdot 4=8\left[\text{cm}\right]$  

$\left|AE\right|=\frac{\left|AD\right|\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Trójkąt ABD jest równoramienny. Stąd:

$\left|EB\right|=\left|AE\right|$  

$\left|AB\right|=2\left|AE\right|=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy obwód równoległoboku ABCD:

$L=2\left(\left|AB\right|+\left|AD\right|\right)=2\left(8\sqrt{3}+8\right)=\left(16\sqrt{3}+16\right)\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Obwód równoległoboku ABCD jest równy (16 + 16√3) cm.

---

---

b) CDEF - kwadrat, więc:

$\left|DC\right|=3\text{cm}$  

$\left|DE\right|=3\text{cm}$  

---

$\left|\angle ADE\right|={135}^{\circ }-{90}^{\circ }={45}^{\circ }\Rightarrow \left|AE\right|=3\text{cm},\left|AD\right|=3\sqrt{2}\text{cm}$  

---

$\left|\angle FCB\right|={120}^{\circ }-{90}^{\circ }={30}^{\circ }\Rightarrow$  trójkąt FCB jest połówką trójkąta równobocznego i stąd:

$\left|CF\right|=\frac{\left|BC\right|\cdot \sqrt{3}}{2}$  

$3=\frac{\left|BC\right|\cdot \sqrt{3}}{2}\mid \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

$\left|BC\right|=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Trójkąt FCB jest połówką trójkąta równobocznego, więc:

$\left|FB\right|=\frac{1}{2}\left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy obwód trapezu ABCD:

$L=\left|AE\right|+\left|EF\right|+\left|FB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|+\left|AD\right|=3+3+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3+3\sqrt{2}=\left(9+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Obwód trapezu ABCD jest równy (9 + 3√3 + 3√2) cm.

---

---

c) Trójkąt ABD jest połówką trójkąta równobocznego, bo:

${90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$  

Stąd:

$\left|AB\right|=\frac{1}{2}\left|BD\right|=\frac{1}{2}\cdot 2=1\left[\text{cm}\right]$  

$\left|AD\right|=\frac{\left|BD\right|\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Trójkąt BCD jest równoramienny, bo:

${105}^{\circ }-{60}^{\circ }={45}^{\circ }$  

Stąd:

$\left|BD\right|=\left|BC\right|\sqrt{2}$  

$2=\left|BC\right|\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$\left|BC\right|=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy obwód czworokąta ABCD:

$L=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|+\left|AD\right|=1+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=\left(1+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Obwód czworokąta ABCD jest równy (1 + 2√2 + √3) cm.