Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$L=36\text{cm}$  

$\left|CS\right|=5\text{cm}$  

---

---

$\text{a)}$  Oznaczmy:

$R-$  promień okręgu opisanego na trójkącie

Środek ciężkości trójkąta to punkt przecięcia jego środkowych. W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Punkt przecięcia środkowych trójkąta dzieli te środkowe w stosunku  $2:1$  licząc od wierzchołka. Zatem:

$\left|CS\right|=\frac{2}{3}R$  

$5=\frac{2}{3}R\mid \cdot \frac{3}{2}$  

$R=\frac{15}{2}=7,5\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Promień okręgu opisanego na trójkącie ma długość  $7,5\text{cm}.$  

---

---

$\text{b)}$  Oznaczmy:

$r-$  promień okręgu wpisanego w trójkąt

W trójkącie prostokątnym prostokątnym promień okręgu opisanego na trójkącie ma długość połowy przeciwprostokątnej. Stąd:

$\left|AB\right|=2R$  

$\left|AB\right|=2\cdot 7,5=15\left[\text{cm}\right]$  

---

Ze wzoru na obwód mamy:

$\left|AB\right|+\left|AC\right|+\left|BC\right|=36$  

$15+\left|AC\right|+\left|BC\right|=36$  

$\left|AC\right|+\left|BC\right|=21$  

---

W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego w trójkąt wyraża się wzorem:

$r=\frac{\left|AC\right|+\left|BC\right|-\left|AB\right|}{2}$  

$r=\frac{21-15}{2}=\frac{6}{2}=3\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  $3\text{cm}.$