Trójkąt  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  jest podobny do trójkąta  $\Delta ABC$  wtedy, gdy  $\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}$  

oraz  $\left|\angle A_1\right|=\left|\angle A\right|,\left|\angle B_1\right|=\left|\angle B\right|,\left|\angle C_1\right|=\left|\angle C\right|.$  

---

Jeśli trójkąt  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  jest podobny do trójkąta  $\Delta ABC,$  to skalą podobieństwa nazywamy liczbę  $k,$  

$k=\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}.$  

---

---

$\text{a)}$  Zauważmy, że z powyższej definicji wynika, że skalą podobieństwa może być stosunek obwodów trójkątów.

Mamy dane:

$L_1=6\text{cm}-$  obwód trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  

$\left|AB\right|=8\text{cm}$  

$\left|BC\right|=10\text{cm}$  

$\left|AC\right|=12\text{cm}$  

---

Obliczamy obwód trójkąta  $\Delta ABC:$  

$L=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|$  

$L=8+10+12=30\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  do trójkąta  $\Delta ABC:$  

$k=\frac{L_1}{L}$  

$k=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$  

---

Odp. Skala podobieństwa trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  do trójkąta  $\Delta ABC$  wynosi  $\frac{1}{5}.$  

---

---

$\text{b)}$  Znając skalę podobieństwa, wystarczy zastosować zależność 

$k=\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}$  

do wyznaczenia boków trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1.$  

---

Obliczamy długość boku  $A_1{B}_1:$  

$k=\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{\left|AB\right|}$  

$\frac{1}{5}=\frac{\left|A_1{B}_1\right|}{8}$  

$5\left|A_1{B}_1\right|=8\mid :5$  

$\left|A_1{B}_1\right|=1,6\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy długość boku  $B_1{C}_1:$  

$k=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{\left|BC\right|}$  

$\frac{1}{5}=\frac{\left|B_1{C}_1\right|}{10}$  

$5\left|B_1{C}_1\right|=10\mid :5$  

$\left|B_1{C}_1\right|=2\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy długość boku  $A_1{C}_1:$  

$k=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{\left|AC\right|}$  

$\frac{1}{5}=\frac{\left|A_1{C}_1\right|}{12}$  

$5\left|A_1{C}_1\right|=12\mid :5$  

$\left|A_1{C}_1\right|=2,4\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Boki trójkąta  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  mają długość:  $\left|A_1{B}_1\right|=1,6\text{cm},\left|B_1{C}_1\right|=2\text{cm},$  

$\left|A_1{C}_1\right|=2,4\text{cm}.$