Oblicz w zeszycie pola i obwody narysowanych...- Zadanie 3: Matematyka 8

Rozwiązanie

a)
wykonajmy rysunek pomocniczy:

Długość odcinka AC możemy w prosty sposób odczytać z rysunku:

$A C = 3 - (- 1) = 3 + 1 = 4$

Zauważmy, że trójkąt CDB jest prostokątny, zatem długość odcinka CB

możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$C D^{2} + D B^{2} = C B^{2}$

$6^{2} + 5^{2} = C B^{2}$

$36 + 25 = C B^{2}$

$C B^{2} = 61 ∣$

$C B = 61$

Zauważmy, że trójkąt ADB jest prostokątny, zatem długość odcinka AB

możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$A D^{2} + D B^{2} = A B^{2}$

$2^{2} + 5^{2} = A B^{2}$

$4 + 25 = A B^{2}$

$A B^{2} = 29 ∣$

$A B = 29$

Obliczmy obwód trójkąta ABC:

$O_{A B C} = 4 + 61 + 29$

Obliczmy pole trójkąta ABC:

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D$

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10$

b) wykonajmy rysunek pomocniczy:

Thumb zad3bs64

Długość odcinka AB możemy w prosty sposób odczytać z rysunku:

$A B = 3 - (- 3) = 3 + 3 = 6$

Zauważmy, że trójkąt ACD jest prostokątny, zatem długość odcinka AC

możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$A D^{2} + C D^{2} = A C^{2}$

$1^{2} + 4^{2} = A C^{2}$

$1 + 16 = A C^{2}$

$A C^{2} = 17 ∣$

$A C = 17$

Zauważmy, że trójkąt CBD jest prostokątny, zatem długość odcinka BC

możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$C D^{2} + B D^{2} = B C^{2}$

$4^{2} + 5^{2} = B C^{2}$

$16 + 25 = B C^{2}$

$B C^{2} = 41 ∣$

$B C = 41$

Obliczmy obwód trójkąta ABC:

$O_{A B C} = 6 + 17 + 41$

Obliczmy pole trójkąta ABC:

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C D$

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$

c) wykonajmy rysunek pomocniczy:

Thumb zad3cs64

Długość odcinka AB możemy w prosty sposób odczytać z rysunku:

$A B = 3 - (- 3) = 3 + 3 = 6$

Zauważmy, że trójkąt ACD jest prostokątny, zatem długość odcinka AC

możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$A D^{2} + C D^{2} = A C^{2}$

$3^{2} + 5^{2} = A C^{2}$

$9 + 25 = A C^{2}$

$A C^{2} = 34 ∣$

$A C = 34$

Trójkąt CBD jest przystający do trójkąta ACD zatem:

$A C = B C = 34$

Obliczmy obwód trójkąta ABC:

$O_{A B C} = 6 + 34 + 34$

Obliczmy pole trójkąta ABC:

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C D$

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15$

d) wykonajmy rysunek pomocniczy:

Thumb zad3ds64

Długość odcinka AC możemy w prosty sposób odczytać z rysunku:

$A C = 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6$

Zauważmy, że trójkąt ADB jest prostokątny, zatem długość odcinka AB

możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$A D^{2} + B D^{2} = A B^{2}$

$1^{2} + 6^{2} = A B^{2}$

$1 + 36 = A B^{2}$

$A B^{2} = 37 ∣$

$A B = 37$

Zauważmy, że trójkąt BCD jest prostokątny, zatem długość odcinka BC

możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$C D^{2} + B D^{2} = B C^{2}$

$5^{2} + 6^{2} = B C^{2}$

$25 + 36 = B C^{2}$

$B C^{2} = 61 ∣$

$B C = 61$

Obliczmy obwód trójkąta ABC:

$O_{A B C} = 6 + 37 + 61$

Obliczmy pole trójkąta ABC:

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D$

$P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18$