$\text{Rozwaz˙amy prawdziwosˊcˊ zdanˊ:}$  

$\mathbf{A}.$  Pole przekroju $D{B}_{1}B{D}_1$  jest równe $0,6d{m}^2$ .

Podstawą graniastosłupa jest romb czyli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Z tego wynika, że trójkąt $ABO$  jest trójkątem prostokątnym. Ponieważ $\left|AB\right|=5cm$  i $\left|AO\right|=4cm$  to korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku $OB$ :

${\left|OB\right|}^2+{\left|AO\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

${\left|OB\right|}^2+4^2=5^2$  

${\left|OB\right|}^2+16=25\mid -16$  

${\left|OB\right|}^2=9\mid \sqrt{}$  

$\left|OB\right|=3\left[cm\right]$  

Wiemy, że przekątne w rombie dzielą się na pół. Wówczas długość boku $BD$  wynosi:

$\left|BD\right|=2\cdot 3cm=6cm$  

Wiemy, że $\left|C{C}_1\right|=10cm$ , czyli pole przekroju jest prostokątem i wynosi:

$P=\left|BD\right|\cdot \left|C{C}_1\right|$  

$P=6cm\cdot 10cm$  

$P=60c{m}^2$  

$P=60\cdot 0,01d{m}^2$  

$P=0,6d{m}^2$  

Zdanie jest prawdziwe. 

 

$\mathbf{B}.$  Połowa objętości tej bryły wynosi $120$  litrów.

Podany graniastosłup jest w podstawie ma romb. Wiemy, że $\left|BD\right|=6cm$ . Ponieważ $\left|AO\right|=4cm$  to:

$\left|AC\right|=2\cdot \left|AO\right|\text{, czyli }\left|AC\right|=2\cdot 4cm=8cm$  

Z tego wynika, że pole podstawy wynosi:

$P_p=\frac{\left|BD\right|\cdot \left|AC\right|}{2}$  

$P_p=\frac{\stackrel{3}{\sout{6}}cm\cdot 8cm}{\underset{1}{\sout{2}}}$  

$P_p=24c{m}^2$  

Jego objętość możemy obliczyć z wzoru:

$V=P_p\cdot H\text{, gdzie }H=\left|C{C}_1\right|=10cm$  

Wówczas połowa jego objętości będzie wynosiła:

$\frac{1}{2}V=\frac{1}{\underset{1}{\sout{2}}}\cdot \stackrel{12}{\sout{24}}c{m}^2\cdot 10cm$  

$\frac{1}{2}V=120c{m}^3$  

$\frac{1}{2}V=120\cdot 0,001d{m}^3$  

$\frac{1}{2}V=0,12d{m}^3$  

$\frac{1}{2}V=0,12l$  

Zdanie jest fałszywe.

 

$\mathbf{C}.$  Pole powierzchni bocznej tej bryły jest równe $2d{m}^2$ .

Wiemy, że $\left|A{A}_1\right|=\left|B{B}_1\right|=\left|C{C}_1\right|=\left|D{D}_1\right|$  oraz $\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|AD\right|$ . Wówczas pole powierzchni bocznej składa się z czterech prostokątów o wymiarach $\left|AB\right|\times \left|{\mathbb{C}}_1\right|$ . Z tego wynika, że pole powierzchni jednej ściany będzie wynosiło:

$P_s=\left|AB\right|\cdot \left|C{C}_1\right|$  

$P_s=5cm\cdot 10cm$  

$P_s=50c{m}^2$  

$P_s=50\cdot 0,01d{m}^2$  

$P_s=0,5d{m}^2$  

Wówczas pole powierzchni bocznej wynosi:

$P_b=4\cdot P_s$  

$P_b=4\cdot 0,5d{m}^2$  

$P_b=2d{m}^2$  

Zdanie jest prawdziwe. 

 

$\mathbf{D}.$  Suma pól podstaw jest mniejsza o $152c{m}^2$  od pola powierzchni bocznej.

Wiemy, że $P_p=24c{m}^2$  oraz $P_B=2d{m}^2=200c{m}^2$ . Suma pól podstaw wynosi:

$2P_p=2\cdot 24c{m}^2=48c{m}^2$  

Obliczamy o ile mniejsza jest ta suma od pola powierzchni bocznej:

$P_b-2P_p=200c{m}^2-48c{m}^2=152c{m}^2$  

Zdanie jest prawdziwe. 

---

 

Odpowiedź:

$\mathbf{A}.$  Pole przekroju $D{B}_{1}B{D}_1$  jest równe $0,6d{m}^2$ .

$\mathbf{C}.$  Pole powierzchni bocznej tej bryły jest równe $2d{m}^2$ .

$\mathbf{D}.$  Suma pól podstaw jest mniejsza o $152c{m}^2$  od pola powierzchni bocznej.