Dane:

Procent, jaki drzwi zajmują w ścianie:  $25\%$  

Wysokość, na jaką ułożona zostanie boazeria:  $H=1,2m$  

Wysokość ściany:  $h=3,5m$  

Wysokość drzwi:  $b=210cm=2,1m$  

Długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego będącego podłogą auli:  $d=10,4m$  

Koszt zakupu $1m^2$  boazerii:  $45zł$  

Szukane:

Całkowity koszt zakupu boazerii:  $x=?$  

Rozwiązanie:

Znamy długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego $d$  będącego podłogą auli. Wyznaczmy długość boku $a$  tego sześciokąta:

$d=a\sqrt{3}$  

$a\sqrt{3}=10,4\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{10,4}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{104}{10\sqrt{3}}$  

$a=\frac{52}{5\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{52\sqrt{3}}{5\cdot 3}$  

$a=\frac{52\sqrt{3}}{15}\left[m\right]$  

Ściany tej auli będą prostokątami o bokach $a=\frac{52\sqrt{3}}{15}m$  i $h=3,5m$ . Wówczas całkowita powierzchnia ściany wynosi:

$P_{\text{sˊciany}}=\frac{52\sqrt{3}}{15}\cdot 3,5$  

$P_{\text{sˊciany}}=\frac{182\sqrt{3}}{15}\left[m^2\right]$  

Wiemy, że 20% jednej ze ścian zajmują drzwi. Z tego wynika, że powierzchnia drzwi wynosi:

$P_{\text{drzwi}}=20\%\cdot P_{\text{sˊciany}}$  

$P_{\text{drzwi}}=0,2\cdot \frac{182\sqrt{3}}{15}$  

$P_{\text{drzwi}}=\frac{36,4\sqrt{3}}{15}$  

$P_{\text{drzwi}}=\frac{364\sqrt{3}}{150}$  

$P_{\text{drzwi}}=\frac{182\sqrt{3}}{75}\left[m^2\right]$  

Znamy wysokość tych drzwi obliczmy szerokość:

$P_{\text{drzwi}}=b\cdot c$  

gdzie $c$  jest szerokością tych drzwi. Wówczas: 

$2,1\cdot c=\frac{182\sqrt{3}}{75}$  

$\frac{21}{100}\cdot c=\frac{182\sqrt{3}}{75}\mid \cdot 10$  

$21\cdot c=\frac{\stackrel{364}{\sout{1820}}\cdot \sqrt{3}}{\underset{15}{\sout{75}}}\mid :21$

$c=\frac{364\sqrt{3}}{15\cdot 21}$

$c=\frac{364\sqrt{3}}{315}\left[m\right]$

Wówczas kawałek ściany, który należy odjąć bo nie będzie obłożony boazerią będzie miał powierzchnię:

$P_1=c\cdot H$  

$P_1=\frac{364\sqrt{3}}{315}\cdot 1,2$  

$P_1=\frac{436,8\sqrt{3}}{315}$  

$P_1=\frac{4368\sqrt{3}}{3150}\left[m^2\right]$  

Pole boazerii położonej na jednej ścianie będzie wynosiło:

$P_{\text{b}}=a\cdot H$  

$P_{\text{b}}=\frac{52\sqrt{3}}{15}\cdot 1,2$  

$P_{\text{b}}=\frac{62,4\sqrt{3}}{15}$

$P_{\text{b}}=\frac{624\sqrt{3}}{150}$

$P_{\text{b}}=\frac{312\sqrt{3}}{75}\left[m^2\right]$  

Wówczas całkowite pole ściany obłożonej boazerią będzie wynosiło:

$P=6\cdot P_{\text{b}}-P_1$  

$P=6\cdot \frac{312\sqrt{3}}{75}-\frac{4368\sqrt{3}}{3150}$  

$P=\frac{1872\sqrt{3}\cdot 42}{75\cdot 42}-\frac{4368\sqrt{3}}{3150}$  

$P=\frac{78624\sqrt{3}}{3150}-\frac{4368\sqrt{3}}{3150}$  

$P=\frac{74256\sqrt{3}}{3150}$  

$P=\frac{74256}{3150}\cdot \sqrt{3}$  

$P\approx 23,57\cdot 1,73$  

$P\approx 40,7761\left[m^2\right]$  

$P\approx 40,8\left[m^2\right]$  

Wówczas koszt zakupu boazerii będzie wynosił:

$x=40,8\cdot 45zł=1836zł$  

Odp.: Koszt zakupu boazerii wynosi $1836zł$ .