$a)$  

Dane:

Wymiary obrusa:  $acm\times bcm$  

Szerokość taśmy:  $15cm$  

Szukane:

Zmiana powierzchni obrusa, czyli różnica pomiędzy powierzchnią obrusa wraz z tasiemką i powierzchnią samego obrusa:  $P_{\text{o+t}}-P_{\text{o}}=?$  

Rozwiązanie:

Obrus jest prostokątem. Z tego wynika, że jego powierzchnia wynosi:

$P_{\text{o}}=a\cdot b$  

$P_{\text{o}}=ab\left[c{m}^2\right]$  

Kasia obszyła obrus z każdej strony tasiemką. Z tego wynika, że długość każdego z boków tego obrusa wzrosła z każdej strony po $15cm$ . Z tego wynika, że długości boków tego obrusa będą wynosiły:

$a{}^{\prime }=a+15+15=\left(a+30\right)\left[cm\right]$  

$b{}^{\prime }=b+15+15=\left(b+30\right)\left[cm\right]$  

Wówczas pole powierzchni obrusa wraz z tasiemką wynosi:

$P_{\text{o + t}}=\left(a+30\right)\cdot \left(b+30\right)$  

$P_{\text{o + t}}=a\cdot b+a\cdot 30+30\cdot b+30\cdot 30$  

$P_{\text{o + t}}=ab+30a+30b+900\left[cm\right]$  

Z tego wynika, że zmiana powierzchni obrusa wynosi:

$P_{\text{o+t}}-P_{\text{o}}=\underline{ab}+30a+30b+900-\underline{ab}$  

$P_{\text{o+t}}-P_{\text{o}}=30a+30b+900\left[c{m}^2\right]$  

Odp.: Powierzchnia obrusa zwiększy się o $30a+30b+900\left[c{m}^2\right]$ .

 

$b)$  

Dane:

Pierwsza liczba parzysta:  $2n$  

Druga liczba parzysta:  $2n+2$  

Trzecia liczba parzysta:  $2n+2+2=2n+4$  

Pierwsza liczba naturalna:  $n$  

Druga liczba naturalna:  $n+1$  

Trzecia liczba naturalna:  $n+1+1=n+2$  

Szukane:

Różnica iloczynów liczb parzystych i liczb naturalnych.

Rozwiązanie:

Iloczyn liczb parzystych ma postać:  $2n\cdot \left(2n+2\right)\cdot \left(2n+4\right)$  

Iloczyn liczb naturalnych:  $n\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)$  

Iloczyn liczb parzystych zmniejszono o iloczyn liczb naturalnych, czyli różnica iloczynów wynosi:

$2n\cdot \left(2n+2\right)\cdot \left(2n+4\right)-n\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)=$  

$=2n\cdot \left[\left(2n+2\right)\cdot \left(2n+4\right)\right]-n\cdot \left[\left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)\right]=$  

$=2n\cdot \left[2n\cdot 2n+2n\cdot 4+2\cdot 2n+2\cdot 4\right]-n\cdot \left[n\cdot n+n\cdot 2+1\cdot n+1\cdot 2\right]=$  

$=2n\cdot \left[4n^2+8n+4n+8\right]-n\cdot \left[n^2+2n+n+2\right]=$  

$=2n\cdot \left[4n^2+12n+8\right]-n\cdot \left[n^2+3n+2\right]=$  

$=2n\cdot 4n^2+2n\cdot 12n+2n\cdot 8-n\cdot n^2+\left(-n\right)\cdot 3n+\left(-n\right)\cdot 2=$  

$=\underline{\underline{8n^3}}+\underline{24n^2}+16n-\underline{\underline{n^3}}-\underline{3n^2}-2n=$  

$=7n^3+21n^2+14n$  

Odp.: Różnica iloczynów liczb parzystych i liczb naturalnych wynosi $7n^3+21n^2+14n$ .