$a)$  

Figura składa się z ośmiu prostokątów o różnych wymiarach, czterech kwadratów o wymiarach $2\times 2$  oraz dwóch ośmiokątów, w których wycięto kwadrat:

Zacznijmy od obliczenia pola prostokątów. Mamy:

$\diamond$  4 prostokąty o wymiarach $5\times 2$  , czyli $P_{p1}=5\cdot 2=10$ ,

$\diamond$  4 prostokąty o wymiarach $1\times 2$  , czyli $P_{p2}=1\cdot 2=2$ .

Z tego wynika, że pole prostokątów będących ścianami tej bryły wynosi:

$P_{\text{prostokątoˊw}}=4\cdot P_{p1}+4\cdot P_{p2}$  

$P_{\text{prostokątoˊw}}=4\cdot 10+4\cdot 2$  

$P_{\text{prostokątoˊw}}=40+8$  

$P_{\text{prostokątoˊw}}=48$  

Obliczamy pole kwadratów:

$P_k=2^2=4$  

Wówczas pole wszystkich kwadratów w tej bryle wynosi:

$P_{\text{kwadratoˊw}}=4\cdot P_k$  

$P_{\text{kwadratoˊw}}=4\cdot 4$  

$P_{\text{kwadratoˊw}}=16$  

Obliczamy teraz powierzchnię jednego ośmiokąta. Zauważmy, że gdyby nie było w nim wyciętego kwadratu to mamy:

Wówczas:

$P_{o1}=5^2=25$  

$P_{o2}=1\cdot 5=5$  

$P_{o3}=1\cdot 4=4$  

W tym ośmiokącie wycięty jest kwadrat o bokach $2\times 2$ , czyli całkowite pole ośmiokątów z wyciętym kwadratem wynosi:

$P_{\text{O}}=P_{o1}+P_{o2}+P_{o3}-P_k$  

$P_{\text{O}}=25+5+4-4$  

$P_{\text{O}}=30$  

Wówczas całkowite pole ośmiokątów wynosi:

$P_{\text{osˊmiokątoˊw}}=2\cdot P_{\text{O}}$  

$P_{\text{osˊmiokątoˊw}}=2\cdot 30$  

$P_{\text{osˊmiokątoˊw}}=60$  

Z tego wynika, że całkowite pole bryły przedstawionej na rysunku wynosi:

$P=P_{\text{prostokątoˊw}}+P_{\text{kwadratoˊw}}+P_{\text{osˊmiokątoˊw}}$  

$P=48+16+60$  

$P=124\left[c{m}^2\right]$  

Odpowiedź: Całkowite pole powierzchni bryły wynosi $124c{m}^2$ .

 

$b)$  

Zauważmy, że bryła składa się z piętnastu prostokątów i dwóch piętnastokątów:

Zacznijmy od obliczenia pola prostokątów. Mamy:

$\diamond$  11 prostokątów o wymiarach $5\times 2$  , czyli $P_{p1}=5\cdot 2=10$ ,

$\diamond$  2 prostokąty o wymiarach $5\times \left(4+4+2\right)$  , czyli $P_{p2}=5\cdot 10=50$ ,

$\diamond$  2 prostokąty którego jeden bok nie jest znany, a z trójkąta Pitagorejskiego otrzymujemy, że nieznany bok wynosi $5$ , czyli niebieski prostokąt jest kwadartem i jego pole wynosi $P_{p3}-5^2=25$ .

Z tego wynika, że pole prostokątów będących ścianami tej bryły wynosi:

$P_{\text{prostokątoˊw}}=11\cdot P_{p1}+2\cdot P_{p2}+2\cdot P_{p3}$  

$P_{\text{prostokątoˊw}}=11\cdot 10+2\cdot 50+2\cdot 25$  

$P_{\text{prostokątoˊw}}=110+100+50$  

$P_{\text{prostokątoˊw}}=260$  

Obliczamy teraz powierzchnię jednego piętnastokąta:

Wówczas:

$P_1=\frac{\left(2+5\right)\cdot \stackrel{2}{\sout{4}}}{\underset{1}{\sout{2}}}=7\cdot 2=14$  

$P_2=4\cdot 10=40$  

$P_3=2^2=4$  

Pole piętnastokąta wynosi:

$P_{\text{piętnastokąt}}=2P_1+P_2+3P_3$  

$P_{\text{piętnastokąt}}=2\cdot 14+40+3\cdot 4$  

$P_{\text{piętnastokąt}}=28+40+12$  

$P_{\text{piętnastokąt}}=80$  

Z tego wynika, że całkowite pole bryły wynosi:

$P=P_{\text{prostokątoˊw}}+2\cdot P_{\text{piętnastokąt}}$  

$P=260+2\cdot 80$  

$P=260+160$  

$P=420\left[c{m}^2\right]$  

Odpowiedź: Całkowite pole powierzchni bryły wynosi $420c{m}^2$ .