Dany jest romb o przekątnych...- Zadanie 6: Matematyka 8

Rozwiązanie

$I .$ Powstała figura jest kwadratem.

Wiemy, że kwadrat ma przekątne równej długości oraz tak jak w rombie przecinają się one pod kątem prostym. Początkowa długość przekątnych rombu:

$a i b$

Przekątną rombu o długości $a$ zwiększamy o $b$ :

$a^{'} = a + b$

Przekątną rombu o długości $b$ zwiększamy o $a$ :

$b^{'} = a + b$

Zauważmy, że:

$a^{'} = b^{'}$

Czyli przekątne są równej długości i powstała figura jest kwadratem.

Zdanie jest prawdziwe.

$II .$ Pole otrzymanej figury jest dwa razy większe od pola rombu przez zmianą długości przekątnych.

Pole romb wynosi: $P_{r} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{1}{2} a b$

Pole kwadratu wynosi: $P_{k} = (a + b)^{2}$

Obliczamy, ile razy pole otrzymanej figury jest większe od pola rombu:

$\frac{P _{k}}{P _{r}} = \frac{( a + b ) ^{2}}{\frac{1}{2} a b}$

$\frac{P _{k}}{P _{r}} = \frac{2 ( a + b ) ^{2}}{a b}$

$\frac{P _{k}}{P _{r}} = \frac{2 ( a ^{2} + 2 a b + b ^{2} )}{a b}$

$\frac{P _{k}}{P _{r}} = \frac{2 a ^{2} + 4 a b + 2 b ^{2}}{a b}$

$\frac{P _{k}}{P _{r}} = \frac{2 a}{b} + 4 + \frac{2 b}{a}$

Pole kwadratu jest $\frac{2 a}{b} + 4 + \frac{2 b}{a}$ razy większe od pola rombu.

Zdanie jest fałszywe.

$III .$ Obwód rombu przed zmianą długości przekątnych wynosił $2 a^{2} + b^{2}$ .

Wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prosty. Niech $x$ będzie długością boku rombu. Wówczas połowy długości przekątnych oraz jeden bok tworzą trójkąt prostokątny. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość boku rombu:

$x^{2} = (\frac{a}{2})^{2} + (\frac{b}{2})^{2}$