$a)$  

Liczba $6^{13}+6^{14}+6^{15}$  jest podzielna przez $43$  jeżeli wynik z dzielenia tej liczby przez $43$  jest liczbą całkowitą. Obliczmy to:

$\frac{6^{13}+6^{14}+6^{15}}{43}=$  

$=\frac{6^{13}+6^{13+1}+6^{13+2}}{43}=$  

$=\frac{6^{13}+6^{13}\cdot 6+6^{13}\cdot 6^2}{43}=$  

$=\frac{6^{13}\cdot \left(1+6+6^2\right)}{43}=$  

$=\frac{6^{13}\cdot \left(1+6+36\right)}{43}=$  

$=\frac{6^{13}\cdot \stackrel{1}{\sout{43}}}{\underset{1}{\sout{43}}}=$  

$=6^{13}$  

Liczba $6^{13}$  jest liczbą całkowitą, czyli liczba $6^{13}+6^{14}+6^{15}$  jest podzielna przez liczbę $43$ .

 

$b)$