Wiemy, że w każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180^o

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$\alpha$    -miara jednego  z kątów w tym trójkącie

$\beta$    -miara drugiego z kątów w tym trójkącie

$\gamma$    -miara trzeciego z kątów w tym trójkącie

I sposób:

wiemy, że:

$\alpha +\beta ={120}^{\circ }$  

$\alpha +\gamma ={120}^{\circ }$  

$\beta +\gamma ={120}^{\circ }$  

oraz:

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

z tego wynika, że:   

$\alpha ={120}^{\circ }-\beta$  

oraz

$\gamma ={120}^{\circ }-\beta$  

zatem:

$\alpha =\gamma$  

oraz:

$\underset{\alpha }{\underbrace{{120}^{\circ }-\beta }}+\beta +\underset{\gamma }{\underbrace{{120}^{\circ }-\beta }}={180}^{\circ }$  

${240}^{\circ }-\beta ={180}^{\circ }$  

$\beta ={240}^{\circ }-{180}^{\circ }={60}^{\circ }$  

zatem:

$\alpha ={120}^{\circ }-{60}^{\circ }={60}^{\circ }$  

$\gamma ={60}^{\circ }$  

Miara każdego z kątów wewnętrznych tego trójkąta wynosi 60^o zatem trójkąt ten jest równoboczny.


II sposób:

wiemy, że:

$\alpha +\beta ={120}^{\circ }$  

$\alpha +\gamma ={120}^{\circ }$  

$\beta +\gamma ={120}^{\circ }$  

oraz:

$\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$  

z tego wynika, że:

$\alpha +{120}^{\circ }={180}^{\circ }$  

zatem:

$\alpha ={180}^{\circ }-{120}^{\circ }$  

$\alpha ={60}^{\circ }$  


${60}^{\circ }+\beta ={120}^{\circ }$  

$\beta ={120}^{\circ }-{60}^{\circ }$  

$\beta ={60}^{\circ }$  


${60}^{\circ }+\gamma ={120}^{\circ }$  

$\gamma ={120}^{\circ }-{60}^{\circ }$  

$\gamma ={60}^{\circ }$  

Miara każdego z kątów wewnętrznych tego trójkąta wynosi 60^o zatem trójkąt ten jest równoboczny.