$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$  

Pomnóżmy obustronnie przez  $\sqrt{2}+1$  , otrzymujemy:

$1=\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)$  

$1={\left(\sqrt{2}\right)}^2+\sqrt{2}\cdot 1-1\cdot \sqrt{2}-1\cdot 1$  

$1=2+1\sqrt{2}-1\sqrt{2}-1$  

$1=2-1$  

$1=1$  

Ostatnia równość jest prawdziwa, więc pierwsze równanie również jest prawdziwe.