$\text{a)}$  Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$a=2$  

$H=3$  

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=a^2$  

$P_p=2^2=4$  

Do obliczenia pola powierzchni bocznej ostrosłupa potrzebujemy znać długość wysokości ściany bocznej.

W tym celu skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $WSE:$   

$H^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=h^2$  

$3^2+1^2=h^2$  

$9+1=h^2$  

$10=h^2$  

$h=\sqrt{10}$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=4\cdot \frac{1}{2}ah=2ah$  

$P_b=2\cdot 2\cdot \sqrt{10}=4\sqrt{10}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=4+4\sqrt{10}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 3=4$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe  $4+4\sqrt{10},$ a jego objętość wynosi  $4.$  

 

$\text{b)}$  Rysunek pomocniczy:

 

Mamy dane:

$a=6$  

$H=4$  

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$  

Do obliczenia pola powierzchni bocznej ostrosłupa potrzebujemy znać długość wysokości ściany bocznej.

W tym celu wyznaczmy najpierw wysokość podstawy ostrosłupa:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$  

Teraz przypomnijmy, że jeżeli podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, to spodek wysokości ostrosłupa

dzieli wysokości podstawy w stosunku  $2:1,$  Stąd:

$\left|SE\right|=\frac{1}{3}h$  

Obliczamy wysokość ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $WSE:$   

$H^2+{\left(\frac{1}{3}h\right)}^2=k^2$  

$4^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=k^2$  

$16+3=k^2$  

$19=k^2$  

$k=\sqrt{19}$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}ak$  

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{19}=9\sqrt{19}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=9\sqrt{3}+9\sqrt{19}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 4=12\sqrt{3}$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe  $9\sqrt{3}+9\sqrt{19},$ a jego objętość wynosi  $12\sqrt{3}.$  

 

$\text{c)}$  Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$a=4$  

$H=5$  

Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=3\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$  

$P_p=3\cdot \frac{4^2\sqrt{3}}{2}=\frac{48\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$  

Do obliczenia pola powierzchni bocznej ostrosłupa potrzebujemy znać długość wysokości ściany bocznej.

W tym celu wyznaczmy najpierw wysokość krawędzi bocznej ostrosłupa, korzystając z twierdzenia Pitagorasa

dla trójkąta $ASW:$  

$H^2+a^2=b^2$  

$5^2+4^2=b^2$  

$25+16=b^2$  

$41=b^2$  

$b=\sqrt{41}$  

Teraz obliczamy wysokość ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  $WGB:$   

$h^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=b^2$  

$h^2+2^2={\left(\sqrt{41}\right)}^2$  

$h^2+4=41$  

$h^2=37$  

$h=\sqrt{37}$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=6\cdot \frac{1}{2}ah=3ah$  

$P_b=3\cdot 4\cdot \sqrt{37}=12\sqrt{37}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$  

$P_c=24\sqrt{3}+12\sqrt{37}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{3}\cdot 5=40\sqrt{3}$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe  $24\sqrt{3}+12\sqrt{37},$ a jego objętość wynosi  $40\sqrt{3}.$