Uzasadnij, że podana liczba nie jest liczbą naturalną ...- Zadanie 24: Matematyka 8

Rozwiązanie

$a) 765432$

Przypomnijmy sobie, jakie cyfry mogą być cyframi jedności kwadratu liczby naturalnej.

Wypiszmy kwadraty kolejnych liczb naturalnych.

$0^{2} = 0$

$1^{2} = 1$

$2^{2} = 4$

$3^{2} = 9$

$4^{2} = 16$

$5^{2} = 25$

$6^{2} = 36$

$7^{2} = 49$

$8^{2} = 64$

$9^{2} = 81$

$10^{2} = 100$

$11^{2} = 121$

$12^{2} = 144$

$13^{2} = 169$

$14^{2} = 196$

$15^{2} = 225$

$16^{2} = 256$

$17^{2} = 289$

$18^{2} = 324$

$19^{2} = 361$

$20^{2} = 400$

Zauważmy, że niezależnie od tego, jak duża jest liczba podnoszona do kwadratu, to:

gdy jej cyfrą jedności jest 0, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 0.
gdy jej cyfrą jedności jest 1, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 1,
gdy jej cyfrą jedności jest 2, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 4,
gdy jej cyfrą jedności jest 3, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 9,
gdy jej cyfrą jedności jest 4, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 6,
gdy jej cyfrą jedności jest 5, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 5,
gdy jej cyfrą jedności jest 6, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 6,
gdy jej cyfrą jedności jest 7, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 9,
gdy jej cyfrą jedności jest 8, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 4,
gdy jej cyfrą jedności jest 9, cyfrą jedności kwadratu tej liczby jest liczba 1.

Stąd kwadrat liczby naturalnej może się kończyć tylko cyfrą 0,1,4,5,6 lub 9. Zauważmy, że liczba √765432 nie może być liczbą naturalną, gdyż cyfrą jedności liczby 765432 jest cyfra 2.

b) Liczba 123 450 jest liczbą parzystą (jej ostatnią cyfrą jest 0). Liczba parzysta może być kwadratem wyłącznie liczby parzystej. Ponadto każdy kwadrat liczby parzystej jest podzielny przez 4, gdyż:

$(□ \cdot 2)^{2} = □^{2} \cdot 2^{2} = □^{2} \cdot 4$

Stąd tylko liczby podzielne przez 4 mogą być kwadratem liczby parzystej. Liczba 123 450 nie jest podzielna przez 4 (bo jej dwie ostatnie cyfry-5 i 0- nie tworzą liczby podzielnej przez 4), stąd nie może być kwadratem liczby naturalnej.