Z definicji prawdopodobieństwa wiemy, że:

$1.0\le P\left(A\right)\le 1$  

$2.P\left(\varnothing \right)=0\text{i}P\left(\Omega \right)=1$

$3.P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$  

Dodatkowo wiadomo, że:

$A\cup A{}^{\prime }=\Omega \text{oraz}A\cap A{}^{\prime }=\varnothing$  

 

Zastosujmy 3 warunek:

$P\left(A\cup A{}^{\prime }\right)=P\left(A\right)+P\left(A{}^{\prime }\right)$  

 

Z warunku 2 wiemy, że:

$P\left(A\cup A{}^{\prime }\right)=P\left(\Omega \right)=1$  

 

Zatem otrzymujemy:

$1=P\left(A\right)+P\left(A{}^{\prime }\right)$  

$1-P\left(A\right)=P\left(A{}^{\prime }\right)$  

Co należało pokazać.