a)

$f\left(x\right)=x^3-3x^2-24x+1$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x-24$  

 

Sprawdźmy kiedy  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$     

$3x^2-6x-24>0\mid :3$  

$x^2-2x-8>0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=4+32=36$  

$x_1=\frac{2-6}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

 

Funkcja rosnąca dla  $x\in (-\infty ,-2⟩,⟨4,+\infty )$  

Funkcja malejąca dla  $x\in ⟨-2,4⟩$  

---

b)

$f\left(x\right)=-3x^5-5x^3+30x-1$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-15x^4-15x^2+30$  

 

Sprawdźmy kiedy  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$-15x^4-15x^2+30>0\mid :\left(-15\right)$  

$x^4+x^2-2<0$  

Podstawmy  $x^2=t$  

$t^2+t-2<0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$  

$t_1=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$t_2=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$t\in \left(-2,1\right)$  

$x^2\in \left(-2,1\right)$  

$x\in \left(-1,1\right)$  

 

Funkcja rosnąca dla  $x\in ⟨-1,1⟩$  

Funkcja malejąca dla  $x\in (-\infty ,-1⟩,⟨1,+\infty )$  

---

c)

$f\left(x\right)=x+\frac{9}{x}$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=1+\frac{9{}^{\prime }\cdot x-9\cdot x{}^{\prime }}{x^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=1-\frac{9}{x^2}$  

 

Sprawdźmy kiedy  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$1-\frac{9}{x^2}>0\mid \cdot x^2$  

$x^2-9>0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

 

Funkcja rosnąca dla  $x\in (-\infty ,-3⟩,⟨3,+\infty )$  

Funkcja malejąca dla  $x\in ⟨-3,0),(0,3⟩$  

---

d)

$f\left(x\right)=\frac{x^4}{{\left(x-1\right)}^2}$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^4\right){}^{\prime }{\left(x-1\right)}^2-x^4\cdot \left({\left(x-1\right)}^2\right){}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^4}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{4x^3{\left(x-1\right)}^2-x^4\cdot \left(2\left(x-1\right)\right)}{{\left(x-1\right)}^4}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{4x^3\left(x^2-2x+1\right)-x^4\cdot \left(2x-2\right)}{{\left(x-1\right)}^4}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{4x^5-8x^4+4x^3-2x^5+2x^4}{{\left(x-1\right)}^4}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^5-6x^4+4x^3}{{\left(x-1\right)}^4}$  

 

Sprawdźmy kiedy  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$\frac{2x^5-6x^4+4x^3}{{\left(x-1\right)}^4}>0\mid \cdot {\left(x-1\right)}^4$  

$2x^5-6x^4+4x^3>0\mid :2x^2$  

$x^3-3x^2+2x>0$  

$x\left(x^2-3x+2\right)>0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$  

$x_1=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$x\left(x-1\right)\left(x-2\right)>0$  

$x\in \left(0,1\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

 

Funkcja rosnąca dla  $x\in ⟨0,1),⟨2,+\infty )$  

Funkcja malejąca dla  $x\in (-\infty ,0⟩,(1,2⟩$  

---

e)

$f\left(x\right)=\frac{x^2+5x+5}{x+3}$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-3\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^2+5x+5\right){}^{\prime }\left(x+3\right)-\left(x^2+5x+5\right)\left(x+3\right){}^{\prime }}{{\left(x+3\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x+5\right)\left(x+3\right)-\left(x^2+5x+5\right)\cdot 1}{{\left(x+3\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^2+6x+5x+15-x^2-5x-5}{{\left(x+3\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2+6x+10}{{\left(x+3\right)}^2}$

 

Sprawdźmy kiedy  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$\frac{x^2+6x+10}{{\left(x+3\right)}^2}>0\mid \cdot {\left(x+3\right)}^2$  

$x^2+6x+10>0$  

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4$  

${\forall }_{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-3\right\}}{x}^2+6x+10>0$  

 

Funkcja rosnąca dla  $x\in \left(-\infty ,-3\right),\left(-3,+\infty \right)$  

---

f)

$f\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)}{x+2}$  

$f\left(x\right)=\frac{x^3-x-x^2+1}{x+2}$  

$f\left(x\right)=\frac{x^3-x^2-x+1}{x+2}$  

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^3-x^2-x+1\right){}^{\prime }\left(x+2\right)-\left(x^3-x^2-x+1\right)\left(x+2\right){}^{\prime }}{{\left(x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(3x^2-2x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x^3-x^2-x+1\right)\cdot 1}{{\left(x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3x^3+6x^2-2x^2-4x-x-2-x^3+x^2+x-1}{{\left(x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^3+5x^2-4x-3}{{\left(x+2\right)}^2}$  

 

Sprawdźmy kiedy  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  

$\frac{2x^3+5x^2-4x-3}{{\left(x+2\right)}^2}>0\mid \cdot {\left(x+2\right)}^2$  

$2x^3+5x^2-4x-3>0$  

Wyznaczmy miejsca zerowe wielomianu  $W\left(x\right)=2x^3+5x^2-4x-3$  

$W\left(x\right)=\left(2x^2+7x+3\right)\left(x-1\right)$  

$\Delta =7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$  

$x_1=\frac{-7-5}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3$  

$x_2=\frac{-7+5}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$W\left(x\right)=2\left(x+3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)$  

$2\left(x+3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)>0\mid :2$  

$\left(x+3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)>0$  

$x\in \left(-3,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

 

Funkcja rosnąca dla  $x\in ⟨-3,-2),(-2,-\frac{1}{2}⟩,⟨1,+\infty )$  

Funkcja malejąca dla  $x\in (-\infty ,-3⟩,⟨-\frac{1}{2},1⟩$