$x^2+y^2+2x-6y+5=0$  

${\left(x+1\right)}^2-1+{\left(y-3\right)}^2-9+5=0$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=5$  

$S\left(-1,3\right),r=\sqrt{5}$     

 

Równanie prostej  $x-2y+1=0$  w postaci kierunkowej:

$-2y=-x-1\mid :\left(-2\right)$  

$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$  

Proste prostopadłe do powyższej prostej:

$y=-2x+b$  

$2x+y-b=0$  

 

Łatwo zauważyć, że odległość środka okręgu od tych prostych jest równa promieniowi, zatem otrzymujemy:

$\frac{\left|2\cdot \left(-1\right)+1\cdot 3-b\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$  

$\frac{\left|-2+3-b\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\mid \cdot \sqrt{5}$  

$\left|1-b\right|=5$  

$1-b=5\vee 1-b=-5$  

$-b=4\vee -b=-6$  

$b=-4\vee b=6$  

 

Zatem równania stycznych do okręgu to:

$y=-2x-4\vee y=-2x+6$