$\left(m+1\right)x^2-4mx+2m+3=0$  

$a=m+1,b=-4m,c=2m+3$  

Aby równanie miało podwójny pierwiastek muszą być spełnione warunki  $m+1\ne 0$  i  $\Delta =0$      

$m+1\ne 0$  

$m\ne -1$  

$\Delta ={\left(-4m\right)}^2-4\cdot \left(m+1\right)\cdot \left(2m+3\right)$  

$\Delta =16m^2-4\left(2m^2+3m+2m+3\right)$  

$\Delta =16m^2-4\left(2m^2+5m+3\right)$  

$\Delta =16m^2-8m^2-20m-12$  

$\Delta =8m^2-20m-12$  

Zatem otrzymujemy równanie:

$8m^2-20m-12=0\mid :4$  

$2m^2-5m-3=0$  

${\Delta }_m={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=7$  

$m_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$m_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$  

 

Obliczmy pierwiastek dla  $m=-\frac{1}{2}$  

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{4m}{2\cdot \left(m+1\right)}=\frac{4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}+1\right)}=\frac{-2}{2\cdot \frac{1}{2}}=-2$  

 

Obliczmy pierwiastek dla  $m=3$  

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{4m}{2\cdot \left(m+1\right)}=\frac{4\cdot 3}{2\cdot \left(3+1\right)}=\frac{12}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$