a)

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\mid \cdot ab$      

$a^2+b^2\ge 2ab\mid -2ab$  

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Powyższa nierówność jest spełniona dla dowolnych liczb a,b.

Zatem nierówność  $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$  zachodzi dla dowolnych liczb a,b takich że  $ab>0$  .

---

b)

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2\mid \cdot ab$  

$a^2+b^2\ge -2ab\mid +2ab$  

$a^2+2ab+b^2\ge 0$  

${\left(a+b\right)}^2\ge 0$  

Powyższa nierówność jest spełniona dla dowolnych liczb a,b.

Zatem nierówność  $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2$  zachodzi dla dowolnych liczb a,b takich że  $ab<0$  .