Ściana sześcianu podczas wycinania narożników:

Wysokość trójkąta równobocznego powstałego po wycięciu narożników ma długość:

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}$     

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2+x^2=1$  

$2x^2=1$  

$x^2=\frac{1}{2}$  

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

A więc wycinamy z narożników następujący ostrosłup:

Wysokość ostrosłupa dzieli wysokość trójkąta równobocznego w stosunku 2:1.

 

$\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

 

Zatem wysokość ostrosłupa to:

$H^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$  

$H^2+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$  

$H^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$  

$H^2=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$  

$H=\frac{\sqrt{6}}{6}$  

 

Objętość ostrosłupa:

$V_{\text{o}}=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{18}}{72}=\frac{3\sqrt{2}}{72}=\frac{\sqrt{2}}{24}$  

 

Obliczmy objętość sześcianu:

$V_{\text{sz}}={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)}^3={\left(\sqrt{2}+1\right)}^3=2\sqrt{2}+3\cdot 2+3\cdot \sqrt{2}+1=5\sqrt{2}+7$  

 

Objętość sześcianu ściętego:

$V=V_{\text{sz}}-8V_{\text{o}}=5\sqrt{2}+7-8\cdot \frac{\sqrt{2}}{24}=5\sqrt{2}+7-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{3}+7-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{14\sqrt{2}}{3}+7=7\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}+1\right)\left[{\text{cm}}^3\right]$