a)

Rysunek pomocniczy:

Łatwo zauważyć, że:

$H=6\left[\text{cm}\right]$      

Z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

$6^2+6^2={\left(2R\right)}^2$  

$36+36=4R^2$  

$72=4R^2\mid :4$  

$18=R^2$  

$\sqrt{18}=R^2$  

$3\sqrt{2}=R$  

 

Obliczmy objętość walca:

$V=\pi R^2\cdot H$  

$V=\pi \cdot 18\cdot 6$  

$V=108\pi \left[{\text{cm}}^3\right]$  

---

b)

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że wysokość obu tych walców jest równa długości krawędzi sześcianu, czyli a.

 

Łatwo zauważyć, że:

$r=\frac{1}{2}a$  

Obliczmy objętość walca wpisanego w ten sześcian.

$V_1=\pi r^{2}h$  

$V_1=\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}a\right)}^2\cdot a$  

$V_1=\frac{1}{4}{a}^3\pi$  

 

Obliczmy promień walca opisanego w ten sześcian, korzystając z tw. Pitagorasa:

$a^2+a^2={\left(2R\right)}^{}$  

$2a^2=4R^2\mid :4$  

$\frac{2}{4}{a}^2=R^2$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}a=R$  

Obliczmy objętość walca opisanego na tym sześcianie.

$V_2=\pi R^{2}h$  

$V_2=\pi \frac{2}{4}{a}^2\cdot a$  

$V_2=\frac{1}{2}{a}^3\pi$  

 

Obliczmy stosunek tych objętości:

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\frac{1}{2}{a}^3\pi }{\frac{1}{4}{a}^3\pi }=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot 4=2$