a) Zamalowany trójkąt jest trójkątem prostokątnym (podstawa graniastosłupa prawidłowego jest prostopadła do ścian bocznych).

Jedna z przyprostokątnych pokrywa się z najdłuższą przekątną podstawy, a druga z wysokością tego graniastosłupa.

Długość najdłuższej przekątnej podstawy oraz wysokość ostrosłupa mają długość równą 10 cm.

Obliczamy pole zamalowanego trójkąta (jedną przyprostokątną traktujemy jak podstawę, a drugą jak wysokoścć poprowadzoną na tę podstawę):

$P_t=\frac{{\sout{10}}^5\cdot 10}{{\sout{2}}^1}=50\left[{\text{cm}}^2\right]$  

$\underline{\underline{}}$  

b) Zamalowany trójkąt jest trójkątem prostokątnym (podstawa graniastosłupa prawidłowego jest prostopadła do ścian bocznych).

Jedna z przyprostokątnych pokrywa się z krótszą przekątną podstawy, a druga z wysokością tego graniastosłupa. Musimy obliczyć długość 

krótszej przekątnej podstawy.

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Szesciokąt foremny możemy podzielić na sześć trójkątów równobocznych o bokach takiej samej długości, jak długość boku sześciokąta.

Najdłuższa przekątna ma 10 cm długości. Zbudowana jest z dwóch boków trójkąta równobocznego, więc długość a wynosi:

$a=10:2=5\left[\text{cm}\right]$  

Zauwazmy, że krótsza przekątna podstawy, czyli odcinek b ma taką długość, jak dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a, więc:

$b={\sout{2}}^1\cdot \frac{5\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=5\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$   

Obliczamy pole zamalowanego trójkąta (pamiętamy, że jest to trójkąt prostokątny):

 

$P_t=\frac{{\sout{10}}^5\cdot 5\sqrt{3}}{{\sout{2}}^1}=25\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$   

$\underline{\underline{}}$   

c) Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia, takie jak na rysunku.

Zauważmy, że zamalowany trójkąt jest trójkątem równoramiennym.

Odcinek b ma taką samą długość, jak odcinek b z przykładu c), więc:

$b=5\sqrt{3}\text{cm}$  

 

Wyznaczmy długości odcinków c.

Odcinek b, wysokość graniastosłupa oraz odcinek c tworzą trójkąt prostokątny.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość odcinka c:

$c^2={10}^2+b^2$  

$c^2=100+{\left(5\sqrt{3}\right)}^2$  

$c^2=100+75=175$  

$c=\sqrt{175}=\sqrt{25\cdot 7}=5\sqrt{7}\left[\text{cm}\right]$  

 

Trójkąt jest równoramienny, więc wysokość h poprowadzona z wierzchołka łączącego jego ramiona, dzieli podstawę (w rozważanym przypadku odcinek b)

na dwa odcinki o równej długości ⁵/₂√3 cm.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość wysokości h:

$h^2=c^2-{\left(\frac{5}{2}\sqrt{3}\right)}^2$  

$h^2={\left(5\sqrt{7}\right)}^2-\frac{75}{4}$  

$h^2=175-\frac{75}{4}=\frac{700}{4}-\frac{75}{4}=\frac{625}{4}$  

$h=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}=12,5\left[\text{cm}\right]$   

 

Obliczamy pole zamalowanego trójkąta:

$P_t=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{5\sqrt{3}\cdot 12,5}{2}=\frac{62,5\sqrt{3}}{2}=31,25\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

$\underline{\underline{}}$   

d) Rysunek pomocniczy (został pokazany pod innym kątem, niż rysunek w podręczniku):

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Długość odcinka b jest taka sam jak w przykładach b) i c):

$b=5\sqrt{3}\text{cm}$  

Aby obliczyć pole zamalowanego trójkąta (jest to trójkąt równoramienny) musimy wyznaczyć długość wysokości h.

Zauważmy, że trójkąt zbudowany z odcinka m, wysokości graniastosłupa oraz wysokości zamalowanego trójkąta (h) jest prostokątny.

Wyznaczmy długość odcinka m. Z poprzednich obliczeń wiemy, że krawędź podstawy ma długość 5 cm oraz długości boków trójkątów

równobocznych, na które można podzielić podstawę także mają długość 5 cm. Odcinek m stanowi połowę długości boku małego trójkąta równobocznego, więc:

$m=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}\left[\text{cm}\right]$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość wysokości zamalowanego trójkąta (h):

$h^2={10}^2+m^2$  

$h^2=100+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2$  

$h^2=100+\frac{25}{4}=\frac{400}{4}+\frac{25}{4}=\frac{425}{4}$  

$h=\sqrt{\frac{425}{4}}=\frac{\sqrt{425}}{\sqrt{4}}=\frac{5\sqrt{17}}{2}=2,5\sqrt{17}\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy pole zamalowanego trójkąta:

$P_t=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{5\sqrt{3}\cdot 2,5\sqrt{17}}{2}=\frac{12,5\sqrt{51}}{2}=6,25\sqrt{51}\left[{\text{cm}}^2\right]$