Przyjmijmy oznaczenia zgodne z poniższym rysunkiem:

Trzy trójkąty w górnej części pięciokąta są przystającymi trójkątami równobocznymi o boku długości $a$ i wysokości długości $1$.

Obliczamy długość boku $a$, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$1=\frac{a\sqrt{3}}{2}|\cdot 2$

$2=a\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$\frac{2}{\sqrt{3}}=a$

Zatem boki trójkątów w górnej części pięciokąta mają długość $\frac{2}{\sqrt{3}}$.

---

Zauważmy, że boki trójkąta w dolnej części pięciokąta są dwa razy dłuższe niż boki trójkątów w jego górnej części. Obliczamy długość boku dolnego trójkąta:

$2a=2\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Zatem bok dolnego trójkąta ma długość $\frac{4}{\sqrt{3}}$.

---

Pięciokąt składa się z trzech trójkątów równobocznych o boku $a$ oraz jednego trójkąta równobocznego o boku $2a$.

Obliczamy pole jednego trójkąta o boku długości $a$:

$P_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=$

$=\frac{{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=$

$=\frac{2^2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}\cdot \sqrt{3}:4=$

$=\frac{{\bcancel{4}}^1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{{\bcancel{4}}_1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

---

Następnie obliczamy pole jednego trójkąta o boku długości $2a$:

$P_2=\frac{{\left(2a\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=$

$=\frac{{\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=$

$=\frac{4^2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}\cdot \sqrt{3}:4=$

$=\frac{{\bcancel{16}}^4}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{{\bcancel{4}}_1}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

---

Obliczamy pole pięciokąta:

$P=3\cdot P_1+P_2=$

$=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}=$

$=\frac{3\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

Pole pięciokąta wynosi $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.

---

Obliczamy obwód pięciokąta:

$Obw.=3\cdot a+2\cdot 2a=$

$=3a+4a=$

$=7a=$

$=7\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka:

$\frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{14}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=$

$=\frac{14\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{14\sqrt{3}}{3}$

Obwód pięciokąta wynosi $\frac{14\sqrt{3}}{3}$.

---

Odpowiedź: Pole pięciokąta wynosi $\frac{7\sqrt{3}}{3}$, a obwód $\frac{14}{\sqrt{3}}$. Po usunięciu niewymierności z mianownika obwód jest równy $\frac{14\sqrt{3}}{3}$.