Oznaczmy pierwszą(największą) premię jako x, wtedy druga premia stanowi 80% pierwszej premii, czyli:

$x\cdot 80\%=x\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{5}x$  

A więc każda kolejna podwyżka stanowi ⁴/₅ poprzedniej. Zatem podane liczby tworzą ciąg o pierwszym wyrazie i ilorazie:

$a_1=x$   

$q=\frac{4}{5}$  

 

Suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu:

$S_5=a_1\cdot \frac{1-q^5}{1-q}=x\cdot \frac{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^5}{1-\frac{4}{5}}=x\cdot \frac{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^5}{\frac{1}{5}}=x\cdot \left(1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^5\right)\cdot 5=5x\cdot \left(1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^5\right)$  

 

Kwota przeznaczona na wszystkie podwyżki jest równa sumie pięciu początkowych wyrazów tego ciągu:

$S_5=18909$  

$5x\left(1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^5\right)=18909$  

$5x\left(1-\frac{1024}{5^5}\right)=18909$  

$x\left(5-\frac{1024}{5^4}\right)=18909$  

$x\left(5-\frac{1024}{625}\right)=18909$

$x\left(\frac{3125}{625}-\frac{1024}{625}\right)=18909$  

$x\cdot \frac{2101}{625}=18909\mid \cdot \frac{625}{2101}$

$x={\sout{18909}}^9\cdot \frac{625}{{\sout{2101}}^1}$  

$x=9\cdot 625$  

$x=5625$  

 

Pierwsza podwyżka wynosi 5 625 zł.

Druga podwyżka:

${\sout{5625}}^{1125}\cdot \frac{4}{{\sout{5}}^1}=1125\cdot 4=4500\left[\text{zł}\right]$  

Trzecia podwyżka:

${\sout{4500}}^{900}\cdot \frac{4}{{\sout{5}}^1}=900\cdot 4=3600\left[\text{zł}\right]$  

Czwarta podwyżka:

${\sout{3600}}^{720}\cdot \frac{4}{{\sout{5}}^1}=720\cdot 4=2880\left[\text{zł}\right]$  

Piąta podwyżka:

${\sout{2880}}^{576}\cdot \frac{4}{{\sout{5}}^1}=576\cdot 4=2304\left[\text{zł}\right]$